Toán lớp 11: Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Mục tiêu bài học

• Phân loại được vị trí của đường thẳng và mặt phẳng.
• Vận dụng được điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng và loại trường hợp nằm trong.
• Sử dụng được tính chất để tìm giao tuyến hoặc đường song song trong hình.
• Xác định được thiết diện đơn giản dựa trên quan hệ song song.

Kiến thức cần nhớ

• Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) khi d và (P) không có điểm chung. Nếu d nằm trong (P), ta không gọi d song song với (P) theo định nghĩa này.
• Tiêu chuẩn thường dùng: nếu d không nằm trong (P) và d song song với một đường a nằm trong (P), thì d song song với (P). Điều kiện d không thuộc mặt phẳng không được bỏ.
• Nếu d song song với (P), mọi mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến a đều cho d song song a. Tính chất này giúp dựng một đường trong mặt phẳng có cùng phương với d.
• Nếu một đường thẳng d song song với hai đường cắt nhau a,b thuộc (P), thì tình huống đó chỉ có thể xảy ra khi a và b cùng phương, mâu thuẫn việc cắt nhau; vì vậy không dùng phát biểu sai này làm tiêu chuẩn.
• Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta thường tìm một điểm chung rồi xác định phương giao tuyến nhờ một cặp đường song song thuộc hai mặt. Cả điểm chung lẫn phương đều phải được chứng minh.
• Trong hình chóp, đường trung bình của tam giác thường cung cấp đường song song với cạnh đáy; kết hợp vị trí nằm ngoài mặt phẳng sẽ tạo tiêu chuẩn đường–mặt song song.

Khởi động và dự đoán

• Một thanh d nằm ngoài mặt bàn và song song với một đường kẻ trên mặt bàn. Khi nào có thể kết luận thanh d song song với mặt bàn?

Thuật ngữ và kí hiệu

đường thẳng song song mặt phẳng đường nằm trong mặt phẳng tiêu chuẩn song song giao tuyến phương giao tuyến

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
d∥(P)	d∩(P)=∅	Định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng.
d∥a, a⊂(P), d⊄(P) ⇒ d∥(P)	d và a là hai đường phân biệt; d không nằm trong (P)	Tiêu chuẩn chứng minh đường–mặt song song.
d∥(P), d⊂(Q), (Q)∩(P)=a ⇒ d∥a	(Q) cắt (P) và chứa d	Tính chất giao tuyến của mặt phẳng qua đường song song.
(Q)∩(P)=a qua M và a∥d	M là điểm chung của (P),(Q); d⊂(Q) và d∥(P)	Cách xác định giao tuyến qua một điểm và một phương.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Hai đường thẳng song song trong không gian. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Giao điểm và giao tuyến. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu d⊂(P) và d∥a với a⊂(P), tiêu chuẩn không cho d∥(P); d đang nằm trong mặt phẳng.
• Một đường d∥(P) có thể chéo nhau với nhiều đường trong (P), song song với một số đường trong (P), nhưng không cắt đường nào của (P).
• Nếu mặt phẳng (Q) chứa d∥(P) nhưng (Q)∥(P), không có giao tuyến a để áp dụng tính chất.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trong cùng mặt phẳng (P), hai đường d và a song song; dù a⊂(P), ta không thể kết luận d∥(P) vì d⊂(P).

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Kiểm tra thanh giằng có phương song song với mặt sàn, xác định giao tuyến trong bản vẽ lớp cắt và dựng thiết diện của khối đa diện.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Đường thẳng và mặt phẳng song song

Muốn kết luận d∥(P), cần một đường a trong (P) song song d và d không nằm trong (P).

d a (P)

d∥a

a⊂(P)

d∥(P)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Trong tứ diện ABCD, M,N là trung điểm AB, AC. Chứng minh MN∥(BCD).

1. 1 Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên MN∥BC.
2. 2 BC⊂(BCD).
3. 3 MN⊂(ABC) và MN không trùng BC; MN không nằm trong (BCD) vì nếu có thì M,N thuộc giao tuyến BC, trái vị trí trên AB,AC.

Đáp án: MN∥(BCD).

Tự kiểm: MN song song với đường BC thuộc (BCD) và không nằm trong (BCD), đúng tiêu chuẩn.

Ví dụ 2

Trong hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh AB∥(SCD).

1. 1 Đáy là hình bình hành nên AB∥CD.
2. 2 CD⊂(SCD).
3. 3 AB nằm trong mặt phẳng đáy và khác CD; giao của đáy với (SCD) là CD nên AB không nằm trong (SCD).

Đáp án: AB∥(SCD).

Tự kiểm: AB không cắt CD và cũng không thể cắt mặt (SCD) ngoài giao tuyến CD.

Ví dụ 3

Cho d∥(P). Mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo a. Chứng minh d∥a.

1. 1 d và a cùng nằm trong mặt phẳng (Q).
2. 2 Nếu d cắt a thì điểm cắt thuộc a⊂(P), trái d∩(P)=∅.
3. 3 Hai đường đồng phẳng, phân biệt và không cắt nhau nên song song.

Đáp án: d∥a.

Tự kiểm: Lập luận dùng trực tiếp định nghĩa d∥(P), không dựa vào hình biểu diễn.

Ví dụ 4

Trong hình chóp S.ABCD với AB∥CD, M thuộc SA và M≠A. Xác định giao tuyến của (MAB) và (MCD).

1. 1 M là điểm chung của hai mặt phẳng.
2. 2 AB⊂(MAB), CD⊂(MCD) và AB∥CD.
3. 3 Qua M kẻ đường m song song AB; cũng song song CD, nên m nằm trong cả hai mặt phẳng.

Đáp án: (MAB)∩(MCD)=m, với m đi qua M và m∥AB∥CD.

Tự kiểm: m có điểm M và phương thuộc từng mặt phẳng, nên là đường chung; hai mặt phẳng phân biệt nên đó là giao tuyến.

Ví dụ 5

Trong hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M nằm trong SA. Dựng thiết diện qua M và song song với mặt đáy.

1. 1 Trong mặt (SAB), qua M kẻ MN∥AB, cắt SB tại N; trong mặt (SAD), qua M kẻ MQ∥AD, cắt SD tại Q.
2. 2 Trong mặt (SBC), qua N kẻ NP∥BC, cắt SC tại P.
3. 3 Vì AB∥CD và AD∥BC, đường qua P song song CD đi qua Q; bốn đoạn MN,NP,PQ,QM là giao của mặt cắt với bốn mặt bên.

Đáp án: Thiết diện là tứ giác MNPQ, một hình bình hành song song với đáy ABCD.

Tự kiểm: Mỗi cạnh thiết diện nằm đúng một mặt bên và song song với cạnh tương ứng của đáy; các đỉnh theo thứ tự thuộc SA,SB,SC,SD.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Chỉ chứng minh d song song với một đường thuộc (P) rồi kết luận d∥(P), dù d cũng nằm trong (P).
• Sai lầm cần tránh: Nhầm d∥(P) với d song song mọi đường thẳng nằm trong (P).
• Sai lầm cần tránh: Thấy d không cắt một đường của (P) rồi kết luận d không cắt cả mặt phẳng.
• Sai lầm cần tránh: Xác định phương giao tuyến nhưng không tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
• Sai lầm cần tránh: Dùng nét vẽ không giao nhau để kết luận đường và mặt phẳng song song.