Toán lớp 11: Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Mục tiêu bài học

• Vận dụng được điều kiện hai mặt phẳng song song với đủ giả thiết.
• Sử dụng được tính chất giao tuyến khi hai mặt phẳng song song bị mặt phẳng thứ ba cắt.
• Vận dụng được định lí Thalès trong không gian ở tình huống phù hợp.
• Nhận biết và tính toán được yếu tố cơ bản của lăng trụ, hình hộp.

Kiến thức cần nhớ

• Hai mặt phẳng phân biệt song song khi chúng không có điểm chung. Nếu có một điểm chung, hai mặt phẳng phân biệt phải cắt nhau theo một đường thẳng.
• Tiêu chuẩn quan trọng: nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai cặp đường thẳng cắt nhau, và hai đường của cặp thứ nhất lần lượt song song với hai đường tương ứng của cặp thứ hai, thì hai mặt phẳng song song.
• Một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng song song. Điều kiện hai đường cắt nhau ngăn việc chúng chỉ cùng biểu diễn một phương.
• Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Tính duy nhất giúp chứng minh hai mặt phẳng trùng nhau.
• Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba, hai giao tuyến tạo thành là hai đường thẳng song song.
• Nhiều mặt phẳng song song chắn trên hai đường thẳng bất kì những đoạn tương ứng tỉ lệ. Đây là dạng định lí Thalès trong không gian và phải dùng các mặt phẳng song song theo cùng thứ tự.
• Lăng trụ có hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song; các cạnh bên song song và bằng nhau. Hình hộp là lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Khởi động và dự đoán

• Hai tầng phẳng của một công trình không gặp nhau. Trong hình học không gian, cần tiêu chuẩn nào để xác nhận hai mặt phẳng song song?

Thuật ngữ và kí hiệu

hai mặt phẳng song song tiêu chuẩn song song giao tuyến song song định lí Thalès trong không gian lăng trụ hình hộp

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
(P)∥(Q)	(P),(Q) phân biệt và (P)∩(Q)=∅	Định nghĩa hai mặt phẳng song song.
a,b⊂(P); a∩b≠∅; a∥a′; b∥b′; a′,b′⊂(Q); a′∩b′≠∅ ⇒ (P)∥(Q)	(P)≠(Q); hai cặp đường tương ứng song song và hai đường trong từng mặt cắt nhau	Tiêu chuẩn chứng minh hai mặt phẳng phân biệt song song.
(P)∥(Q), (R)∩(P)=a, (R)∩(Q)=b ⇒ a∥b	(R) cắt cả hai mặt phẳng	Các giao tuyến do mặt phẳng thứ ba tạo ra song song.
AB/A′B′ = AC/A′C′	Ba mặt phẳng song song lần lượt cắt hai đường thẳng tại A,B,C và A′,B′,C′; các đoạn có độ dài khác 0	Tỉ lệ các đoạn chắn tương ứng theo Thalès không gian.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Đường thẳng song song mặt phẳng. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Hai đường thẳng cắt nhau và song song. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Hai mặt phẳng trùng nhau có vô số điểm chung, nên không gọi là hai mặt phẳng song song phân biệt.
• Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
• Một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng song song với (Q) thì đường ấy song song với (Q), nhưng không nhất thiết song song với mọi đường trong (Q).

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hai mặt phẳng cùng chứa các đường a và b song song nhau vẫn có thể cắt nhau theo một đường song song a; một cặp đường song song chưa đủ chứng minh hai mặt phẳng song song.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô hình các tầng nhà, các lát cắt địa chất song song, khối lăng trụ và phép chia đoạn theo các mặt cắt song song.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Hai mặt phẳng song song

Mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến a,b song song.

(P) (Q) (R) a b

(P)∥(Q)

a=(P)∩(R)

b=(Q)∩(R)

a∥b

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, chứng minh (ABCD)∥(A′B′C′D′).

1. 1 Trong mặt đáy, AB và AD cắt nhau tại A.
2. 2 Trong mặt trên, A′B′ và A′D′ cắt nhau tại A′.
3. 3 Theo tính chất hình hộp, AB∥A′B′ và AD∥A′D′.

Đáp án: (ABCD)∥(A′B′C′D′).

Tự kiểm: Hai cặp đường cắt nhau tương ứng song song, đúng tiêu chuẩn hai mặt phẳng.

Ví dụ 2

Hai mặt phẳng song song (P),(Q) bị mặt phẳng (R) cắt theo a,b. Chứng minh a∥b.

1. 1 a và b cùng nằm trong mặt phẳng (R).
2. 2 Nếu a cắt b tại M thì M thuộc cả (P) và (Q).
3. 3 Điều đó trái với (P)∥(Q), nên a,b không cắt nhau.

Đáp án: a∥b.

Tự kiểm: a,b đồng phẳng trong (R), phân biệt và không có điểm chung.

Ví dụ 3

Ba mặt phẳng song song cắt hai đường thẳng tại A,B,C và A′,B′,C′. Biết AB=6, BC=9, A′B′=8. Tính B′C′.

1. 1 Áp dụng AB/BC=A′B′/B′C′.
2. 2 Thay 6/9=8/B′C′.
3. 3 Nhân chéo được 6B′C′=72.

Đáp án: B′C′=12.

Tự kiểm: Tỉ số 6/9=2/3 và 8/12=2/3 bằng nhau.

Ví dụ 4

Trong tứ diện SABC, M,N,P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC. Chứng minh (MNP)∥(ABC).

1. 1 Trong tam giác SAB, MN∥AB.
2. 2 Trong tam giác SAC, MP∥AC.
3. 3 MN và MP cắt nhau tại M; AB và AC cắt nhau tại A.

Đáp án: (MNP)∥(ABC).

Tự kiểm: Hai cặp đường cắt nhau tương ứng song song nên thỏa tiêu chuẩn mặt phẳng song song.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Chứng minh chỉ một cặp đường tương ứng song song rồi kết luận hai mặt phẳng song song.
• Sai lầm cần tránh: Bỏ điều kiện hai đường dùng trong mỗi mặt phẳng phải cắt nhau.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng hai mặt phẳng không thấy giao tuyến trên hình thì song song.
• Sai lầm cần tránh: Ghép sai thứ tự các điểm khi lập tỉ số Thalès.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm đáy của mọi hình chóp là hai mặt phẳng song song như lăng trụ.