Toán lớp 11: Bài 14: Phép chiếu song song

Mục tiêu bài học

• Xác định được ảnh của điểm, đường thẳng và hình qua phép chiếu song song.
• Nêu và vận dụng đúng các tính chất được phép chiếu song song bảo toàn.
• Vẽ được hình biểu diễn phù hợp của một số hình không gian.
• Bác bỏ được kết luận sai về bảo toàn góc, độ dài, vuông góc hoặc đường tròn.

Kiến thức cần nhớ

• Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương đường thẳng d không song song với (P) gửi mỗi điểm M tới giao điểm M′ của đường qua M song song d với (P).
• Điểm nằm trên mặt phẳng chiếu được giữ nguyên. Một đường thẳng không song song với phương chiếu thường được biến thành một đường thẳng; đường song song phương chiếu có thể bị thu thành một điểm.
• Phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của ba điểm trên một đường khi ảnh không suy biến. Nó biến hai đường song song thành hai đường song song hoặc trùng nhau.
• Tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường hoặc trên hai đường song song được bảo toàn khi các ảnh không suy biến. Độ dài tuyệt đối và số đo góc nói chung không được bảo toàn.
• Ảnh song song của tam giác có thể là tam giác hoặc đoạn thẳng; ảnh của hình bình hành không suy biến là hình bình hành. Hình chữ nhật có thể thành hình bình hành xiên.
• Hình biểu diễn không gian trong sách thường dùng nguyên tắc của phép chiếu song song: giữ các quan hệ liên thuộc và song song cần thiết, nhưng không được đo trực tiếp góc hay độ dài trên hình.

Khởi động và dự đoán

• Ánh nắng tạo bóng của một khung dây lên mặt đất theo các tia gần song song. Những tính chất hình học nào được giữ lại?

Thuật ngữ và kí hiệu

phép chiếu song song mặt phẳng chiếu phương chiếu ảnh của điểm ảnh suy biến hình biểu diễn

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
M′=(đường qua M ∥ d)∩(P)	d không song song với (P)	Định nghĩa ảnh M′ của M qua phép chiếu song song.
A,B,C thẳng hàng ⇒ A′,B′,C′ thẳng hàng	Đường ABC không song song phương chiếu hoặc ảnh được hiểu trong trường hợp không suy biến	Bảo toàn tính thẳng hàng.
AB/CD = A′B′/C′D′	AB và CD cùng đường hoặc nằm trên hai đường song song; các ảnh đoạn không suy biến	Bảo toàn tỉ số trên các phương song song.
a∥b ⇒ a′∥b′ hoặc a′=b′	a,b không song song phương chiếu và có ảnh là đường	Ảnh của hai đường song song.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Quan hệ song song trong không gian. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Hình biểu diễn của hình không gian. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu M thuộc mặt phẳng chiếu thì M′=M.
• Nếu một đường thẳng song song phương chiếu, tất cả điểm của đường có thể cùng một ảnh; đường bị thu thành điểm.
• Nếu mặt phẳng chứa hình song song phương chiếu, ảnh của cả hình phẳng có thể suy biến thành một đoạn.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Một hình chữ nhật chiếu xiên lên mặt phẳng có thể thành hình bình hành không có góc vuông, nên phép chiếu song song không bảo toàn góc.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Giải thích bóng nắng gần song song, xây dựng hình biểu diễn khối không gian và đọc các tỉ lệ trên bản vẽ chiếu xiên.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Phép chiếu song song

Các tia chiếu song song; phép chiếu không bảo toàn mọi độ dài hay góc.

A B A′ B′ l

AA′∥BB′∥l

AB↦A′B′

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Qua phép chiếu song song, ba điểm A,B,C thẳng hàng có AB/BC=2/3 và ảnh không suy biến. Biết A′B′=8 cm, tính B′C′.

1. 1 Phép chiếu bảo toàn tỉ số trên một đường.
2. 2 Lập A′B′/B′C′=AB/BC=2/3.
3. 3 Thay 8/B′C′=2/3 và giải.

Đáp án: B′C′=12 cm.

Tự kiểm: 8/12=2/3, đúng tỉ số ban đầu.

Ví dụ 2

A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng tạo hình bình hành và ảnh A′B′C′D′ không suy biến. Chứng minh ảnh là hình bình hành.

1. 1 AB∥CD nên A′B′∥C′D′ hoặc trùng; ảnh không suy biến loại trường hợp trùng.
2. 2 AD∥BC nên A′D′∥B′C′.
3. 3 Tứ giác ảnh có hai cặp cạnh đối song song.

Đáp án: A′B′C′D′ là hình bình hành.

Tự kiểm: Kết luận chỉ dùng tính song song được bảo toàn, không giả sử góc hoặc độ dài giữ nguyên.

Ví dụ 3

Cho M là trung điểm AB; ảnh A′,B′ phân biệt. Chứng minh M′ là trung điểm A′B′.

1. 1 A,M,B thẳng hàng nên A′,M′,B′ thẳng hàng.
2. 2 Vì AM/MB=1, phép chiếu bảo toàn tỉ số trên đường.
3. 3 Suy ra A′M′/M′B′=1.

Đáp án: M′ là trung điểm A′B′.

Tự kiểm: M′ nằm trên A′B′ và A′M′=M′B′, đủ hai điều kiện trung điểm.

Ví dụ 4

Một đoạn thẳng ℓ song song với phương chiếu d. Mô tả ảnh của ℓ lên (P).

1. 1 Mọi đường chiếu qua một điểm M của ℓ đều chính là đường chứa ℓ vì ℓ∥d.
2. 2 Đường ấy cắt (P) tại một điểm duy nhất H do d không song song (P).
3. 3 Vì vậy mọi điểm M trên ℓ đều có cùng ảnh H.

Đáp án: Ảnh của ℓ suy biến thành một điểm H.

Tự kiểm: Kết quả phù hợp ngoại lệ: đường song song phương chiếu không có ảnh là một đường.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Cho rằng phép chiếu song song bảo toàn mọi độ dài.
• Sai lầm cần tránh: Đo góc trên hình biểu diễn rồi coi là góc thật trong không gian.
• Sai lầm cần tránh: Quên điều kiện phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.
• Sai lầm cần tránh: Khẳng định ảnh của mọi đường thẳng luôn là đường thẳng, bỏ trường hợp suy biến thành điểm.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng ảnh của hình chữ nhật luôn là hình chữ nhật.