Toán lớp 11: Bài 15: Giới hạn của dãy số

Mục tiêu bài học

• Nhận biết và tính được một số giới hạn cơ bản của dãy số.
• Vận dụng được các phép toán giới hạn khi các giả thiết được thỏa mãn.
• Nhận biết và xử lý được giới hạn vô cực trong trường hợp đơn giản.
• Tính được tổng cấp số nhân lùi vô hạn khi trị tuyệt đối công bội nhỏ hơn 1.

Kiến thức cần nhớ

• Dãy (uₙ) có giới hạn L nếu các số hạng có thể gần L tùy ý khi n đủ lớn. Kí hiệu lim uₙ=L mô tả xu thế lâu dài, không đòi hỏi một số hạng phải bằng L.
• Các giới hạn cơ bản như 1/nᵏ→0 với k nguyên dương và qⁿ→0 khi |q|<1 là nền tảng để biến đổi nhiều dãy hữu tỉ hoặc cấp số nhân.
• Các phép cộng, trừ, nhân và chia giới hạn dùng khi các giới hạn thành phần hữu hạn; phép chia còn cần giới hạn mẫu khác 0 và mẫu số thực tế khác 0 từ một chỉ số đủ lớn.
• Nếu tử và mẫu là đa thức theo n, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n để tìm giới hạn. Không được thay kí hiệu ∞ như một số thực vào biểu thức.
• Mở rộng: dãy tăng và bị chặn trên hoặc dãy giảm và bị chặn dưới có giới hạn. Định lí đơn điệu–bị chặn hữu ích để chứng minh tồn tại giới hạn, nhưng không phải công cụ bắt buộc cho các bài tính giới hạn cơ bản của bài học.
• Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ và |q|<1 thì tổng vô hạn tồn tại, bằng giới hạn của tổng n số hạng đầu. Điều kiện |q|<1 là bắt buộc.
• Giới hạn bằng +∞ hoặc −∞ mô tả độ lớn tăng không bị chặn theo một dấu; đó không phải giới hạn hữu hạn và không được dùng tùy tiện trong phép trừ ∞−∞.
• Để chứng minh uₙ→+∞, cần chỉ ra uₙ vượt mọi ngưỡng dương khi n đủ lớn; tương tự uₙ→−∞ khi −uₙ→+∞. Các dãy nᵏ với k nguyên dương tiến tới +∞, còn −nᵏ tiến tới −∞.
• Với q>1, qⁿ→+∞; với q<−1, qⁿ đổi dấu và không có giới hạn +∞ hay −∞. Khi so sánh tốc độ, phải xét dấu và miền trước khi dùng hạng trội.

Khởi động và dự đoán

• Các số 1/2, 1/4, 1/8, ... tiến gần số nào, và tổng vô hạn của chúng có thể hữu hạn hay không?

Thuật ngữ và kí hiệu

giới hạn dãy số giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực dãy hội tụ dãy phân kì cấp số nhân lùi vô hạn tổng vô hạn

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
lim(1/nᵏ)=0	k là số nguyên dương và n→∞	Giới hạn cơ bản của nghịch đảo lũy thừa.
lim qⁿ=0	|q|<1 và n→∞	Giới hạn của lũy thừa có cơ số về độ lớn nhỏ hơn 1.
lim(uₙ±vₙ)=L±M; lim(uₙvₙ)=LM	lim uₙ=L, lim vₙ=M là các giới hạn hữu hạn	Quy tắc tổng, hiệu và tích.
lim(uₙ/vₙ)=L/M	lim uₙ=L, lim vₙ=M≠0 và vₙ≠0 từ một chỉ số đủ lớn	Quy tắc thương.
S=u₁/(1−q)	Cấp số nhân vô hạn có |q|<1	Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
uₙ tăng và uₙ≤M ⇒ (uₙ) hội tụ	Bất đẳng thức và tính tăng đúng với mọi n; M độc lập n	Định lí dãy đơn điệu bị chặn.
lim nᵏ=+∞; lim(−nᵏ)=−∞	k là số nguyên dương, n→∞	Hai giới hạn vô cực cơ bản.
lim qⁿ=+∞	q>1 và n→∞	Lũy thừa cơ số lớn hơn 1 tăng không bị chặn.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Dãy số và cấp số nhân. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Biến đổi phân thức và căn thức. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• q=−1 cho dãy qⁿ luân phiên −1 và 1, nên không có giới hạn dù |q|=1.
• Dãy (−1)ⁿ bị chặn nhưng không hội tụ.
• Một cấp số nhân có q=0 thỏa |q|<1; từ số hạng thứ hai trở đi bằng 0 và tổng vô hạn bằng u₁.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Dãy uₙ=(−1)ⁿ luôn nằm trong [−1;1] nhưng không tiến tới một số duy nhất; bị chặn không đủ để hội tụ.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô tả giá trị ổn định của quá trình lặp, tổng quãng đường của vật nảy với tỉ lệ không đổi hoặc giá trị tích lũy của chuỗi giảm dần.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Giới hạn của dãy số

So sánh hai dãy rời rạc: uₙ tiến tới giới hạn hữu hạn 0, còn vₙ tăng vượt mọi ngưỡng nên tiến tới +∞.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Giới hạn của dãy số

Dãy	x	y
uₙ=1/n	1	1
uₙ=1/n	2	0.5
uₙ=1/n	3	0.333
uₙ=1/n	4	0.25
uₙ=1/n	5	0.2
uₙ=1/n	8	0.125
vₙ=n	1	1
vₙ=n	2	2
vₙ=n	3	3
vₙ=n	4	4
vₙ=n	5	5
vₙ=n	8	8

uₙ=1/n vₙ=n

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tính lim (3n²−n+2)/(2n²+5).

1. 1 Chia tử và mẫu cho n².
2. 2 Được (3−1/n+2/n²)/(2+5/n²).
3. 3 Cho n→∞, các số hạng chứa 1/n và 1/n² tiến về 0.

Đáp án: Giới hạn bằng 3/2.

Tự kiểm: Tỉ số hệ số của hai lũy thừa bậc cao nhất cũng là 3/2.

Ví dụ 2

Tính lim (√(n²+4n)−n).

1. 1 Nhân chia với biểu thức liên hợp.
2. 2 Được 4n/[√(n²+4n)+n].
3. 3 Chia tử và mẫu cho n để được 4/[√(1+4/n)+1].

Đáp án: Giới hạn bằng 2.

Tự kiểm: Khi n lớn, mẫu tiến tới 2 nên biểu thức tiến tới 4/2=2.

Ví dụ 3

Tính tổng 6−2+2/3−2/9+⋯.

1. 1 Nhận đây là cấp số nhân với u₁=6.
2. 2 Tính q=(−2)/6=−1/3 và |q|<1.
3. 3 Áp dụng S=6/[1−(−1/3)].

Đáp án: Tổng vô hạn bằng 9/2.

Tự kiểm: Tổng riêng lần lượt dao động quanh 4,5 và độ lệch giảm theo |q|=1/3.

Ví dụ 4

Cho uₙ=1−1/(n+1). Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạn.

1. 1 Tính uₙ₊₁−uₙ=1/(n+1)−1/(n+2)>0 nên dãy tăng.
2. 2 Vì uₙ<1 nên dãy bị chặn trên.
3. 3 Dùng giới hạn 1/(n+1)=0 để tìm lim uₙ=1.

Đáp án: Dãy hội tụ đến 1.

Tự kiểm: Tính tăng và bị chặn bảo đảm hội tụ; phép tính giới hạn xác định đúng giá trị 1.

Ví dụ 5

Xác định giới hạn của uₙ=−3n²+2n−1.

1. 1 Đặt n² làm nhân tử: uₙ=n²(−3+2/n−1/n²).
2. 2 Ngoặc tiến tới −3<0, còn n²→+∞.
3. 3 Từ một chỉ số đủ lớn, uₙ âm và độ lớn tăng không bị chặn.

Đáp án: uₙ→−∞.

Tự kiểm: Không viết “∞·(−3)” như phép nhân số thực; lập luận dựa trên dấu ổn định và độ lớn n².

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Coi ∞ là một số rồi thực hiện ∞/∞ hoặc ∞−∞.
• Sai lầm cần tránh: Áp dụng lim qⁿ=0 khi q=−2 hoặc q=1.
• Sai lầm cần tránh: Dùng quy tắc thương dù giới hạn mẫu bằng 0.
• Sai lầm cần tránh: Tính tổng cấp số nhân vô hạn khi |q|≥1.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng dãy có giới hạn L thì phải có một số hạng bằng L.
• Sai lầm cần tránh: Kết luận dãy hội tụ chỉ vì bị chặn mà không có thêm tính chất.