Toán lớp 11: Bài 16: Giới hạn của hàm số

Mục tiêu bài học

• Tính được giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm và tại vô cực trong trường hợp cơ bản.
• Phân biệt và tính được giới hạn trái, giới hạn phải.
• Vận dụng được phép toán giới hạn và biến đổi đại số để khử dạng vô định đơn giản.
• Nhận biết được giới hạn vô cực và diễn giải được từ đồ thị.

Kiến thức cần nhớ

• Giới hạn của f(x) khi x tiến tới a mô tả giá trị f(x) tiến gần khi x gần a nhưng khác a. Vì thế giới hạn có thể tồn tại dù f(a) không xác định hoặc khác giới hạn.
• Giới hạn trái xét x<a tiến dần đến a, giới hạn phải xét x>a tiến dần đến a. Giới hạn hai phía tồn tại và bằng L khi và chỉ khi cả hai giới hạn một phía cùng tồn tại và cùng bằng L.
• Các quy tắc tổng, hiệu, tích và thương của giới hạn hàm số tương tự dãy số; phép chia chỉ áp dụng khi giới hạn mẫu khác 0. Thay trực tiếp chỉ hợp lệ khi không tạo dạng chưa xác định.
• Dạng 0/0 không phải kết quả mà là tín hiệu cần biến đổi, thường bằng phân tích nhân tử hoặc nhân biểu thức liên hợp. Sau khi khử nhân tử, đẳng thức chỉ cần đúng trên lân cận thủng của điểm xét.
• Giới hạn tại vô cực mô tả hành vi khi |x| lớn. Với phân thức hữu tỉ, chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất phù hợp để so sánh bậc.
• Giới hạn vô cực tại một điểm thường phụ thuộc phía tiếp cận. Bảng dấu của các nhân tử giúp xác định +∞ hay −∞; không được suy dấu chỉ từ mẫu tiến về 0.
• Đồ thị hỗ trợ đọc xu thế nhưng kết quả chính xác cần dựa trên biểu thức hoặc dữ kiện rõ. Bài này không dùng quy tắc L’Hôpital, không dùng đạo hàm và không dùng khai triển Taylor.

Khởi động và dự đoán

• Hàm f(x)=(x²−1)/(x−1) không xác định tại x=1, nhưng các giá trị của nó khi x rất gần 1 tiến đến đâu?

Thuật ngữ và kí hiệu

giới hạn hàm số lân cận thủng giới hạn trái giới hạn phải giới hạn tại vô cực giới hạn vô cực dạng 0/0 liên hợp

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
lim[x→a]f(x)=L ⇔ lim[x→a⁻]f(x)=lim[x→a⁺]f(x)=L	Hai giới hạn một phía tồn tại	Điều kiện tồn tại giới hạn hai phía.
lim(f±g)=L±M; lim(fg)=LM	Khi x tiến tới cùng một điểm hoặc vô cực; lim f=L, lim g=M hữu hạn	Quy tắc tổng, hiệu và tích.
lim(f/g)=L/M	lim f=L, lim g=M≠0 và g(x)≠0 trong lân cận đang xét	Quy tắc thương.
lim[x→±∞]1/xᵏ=0	k là số nguyên dương	Giới hạn cơ bản tại vô cực.
lim[x→a⁺]1/(x−a)=+∞; lim[x→a⁻]1/(x−a)=−∞	x tiến tới a từ phía được chỉ rõ	Mẫu đổi dấu ở hai phía của a.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Giới hạn dãy số. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Phân tích nhân tử và hữu tỉ hóa. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Giá trị f(a) không quyết định lim[x→a]f(x); thay riêng giá trị tại một điểm không đổi giới hạn.
• Hai giới hạn một phía hữu hạn nhưng khác nhau thì giới hạn hai phía không tồn tại.
• Biểu thức có thể tiến tới +∞ ở một phía và −∞ ở phía kia; khi đó không viết giới hạn hai phía bằng một vô cực duy nhất.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hàm f(x)=0 khi x<0 và f(x)=1 khi x≥0 có giới hạn trái tại 0 bằng 0, giới hạn phải bằng 1; do đó giới hạn hai phía tại 0 không tồn tại.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Phân tích tốc độ trung bình khi khoảng thời gian thu nhỏ, hành vi gần ngưỡng của một mô hình và xu thế dài hạn của đại lượng theo biến liên tục.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Giới hạn của hàm số

Hai phía của x=1 cùng tiến tới 2 dù biểu thức ban đầu không xác định tại x=1.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Giới hạn của hàm số

Dãy	x	y
f(x), x<1	0	1
f(x), x<1	0.01	1.01
f(x), x<1	0.02	1.02
f(x), x<1	0.03	1.03
f(x), x<1	0.04	1.04
f(x), x<1	0.05	1.05
f(x), x<1	0.06	1.06
f(x), x<1	0.07	1.07
f(x), x<1	0.08	1.08
f(x), x<1	0.09	1.09
f(x), x<1	0.1	1.1
f(x), x<1	0.11	1.11
f(x), x<1	0.12	1.12
f(x), x<1	0.13	1.13
f(x), x<1	0.14	1.14
f(x), x<1	0.15	1.15
f(x), x<1	0.16	1.16
f(x), x<1	0.17	1.17
f(x), x<1	0.18	1.18
f(x), x<1	0.19	1.19
f(x), x<1	0.2	1.2
f(x), x<1	0.21	1.21
f(x), x<1	0.22	1.22
f(x), x<1	0.23	1.23
f(x), x<1	0.24	1.24
f(x), x<1	0.25	1.25
f(x), x<1	0.26	1.26
f(x), x<1	0.27	1.27
f(x), x<1	0.28	1.28
f(x), x<1	0.29	1.29
f(x), x<1	0.3	1.3
f(x), x<1	0.31	1.31
f(x), x<1	0.32	1.32
f(x), x<1	0.33	1.33
f(x), x<1	0.34	1.34
f(x), x<1	0.35	1.35
f(x), x<1	0.36	1.36
f(x), x<1	0.37	1.37
f(x), x<1	0.38	1.38
f(x), x<1	0.39	1.39
f(x), x<1	0.4	1.4
f(x), x<1	0.41	1.41
f(x), x<1	0.42	1.42
f(x), x<1	0.43	1.43
f(x), x<1	0.44	1.44
f(x), x<1	0.45	1.45
f(x), x<1	0.46	1.46
f(x), x<1	0.47	1.47
f(x), x<1	0.48	1.48
f(x), x<1	0.49	1.49
f(x), x<1	0.5	1.5
f(x), x<1	0.51	1.51
f(x), x<1	0.52	1.52
f(x), x<1	0.53	1.53
f(x), x<1	0.54	1.54
f(x), x<1	0.55	1.55
f(x), x<1	0.56	1.56
f(x), x<1	0.57	1.57
f(x), x<1	0.58	1.58
f(x), x<1	0.59	1.59
f(x), x<1	0.6	1.6
f(x), x<1	0.61	1.61
f(x), x<1	0.62	1.62
f(x), x<1	0.63	1.63
f(x), x<1	0.64	1.64
f(x), x<1	0.65	1.65
f(x), x<1	0.66	1.66
f(x), x<1	0.67	1.67
f(x), x<1	0.68	1.68
f(x), x<1	0.69	1.69
f(x), x<1	0.7	1.7
f(x), x<1	0.71	1.71
f(x), x<1	0.72	1.72
f(x), x<1	0.73	1.73
f(x), x<1	0.74	1.74
f(x), x<1	0.75	1.75
f(x), x<1	0.76	1.76
f(x), x<1	0.77	1.77
f(x), x<1	0.78	1.78
f(x), x<1	0.79	1.79
f(x), x<1	0.8	1.8
f(x), x<1	0.81	1.81
f(x), x<1	0.82	1.82
f(x), x<1	0.83	1.83
f(x), x<1	0.84	1.84
f(x), x<1	0.85	1.85
f(x), x<1	0.86	1.86
f(x), x<1	0.87	1.87
f(x), x<1	0.88	1.88
f(x), x<1	0.89	1.89
f(x), x<1	0.9	1.9
f(x), x<1	0.91	1.91
f(x), x<1	0.92	1.92
f(x), x<1	0.93	1.93
f(x), x<1	0.94	1.94
f(x), x<1	0.95	1.95
f(x), x<1	0.96	1.96
f(x), x<1	0.97	1.97
f(x), x<1	0.98	1.98
f(x), x<1	0.99	1.99
f(x), x>1	1.01	2.01
f(x), x>1	1.02	2.02
f(x), x>1	1.03	2.03
f(x), x>1	1.04	2.04
f(x), x>1	1.05	2.05
f(x), x>1	1.06	2.06
f(x), x>1	1.07	2.07
f(x), x>1	1.08	2.08
f(x), x>1	1.09	2.09
f(x), x>1	1.1	2.1
f(x), x>1	1.11	2.11
f(x), x>1	1.12	2.12
f(x), x>1	1.13	2.13
f(x), x>1	1.14	2.14
f(x), x>1	1.15	2.15
f(x), x>1	1.16	2.16
f(x), x>1	1.17	2.17
f(x), x>1	1.18	2.18
f(x), x>1	1.19	2.19
f(x), x>1	1.2	2.2
f(x), x>1	1.21	2.21
f(x), x>1	1.22	2.22
f(x), x>1	1.23	2.23
f(x), x>1	1.24	2.24
f(x), x>1	1.25	2.25
f(x), x>1	1.26	2.26
f(x), x>1	1.27	2.27
f(x), x>1	1.28	2.28
f(x), x>1	1.29	2.29
f(x), x>1	1.3	2.3
f(x), x>1	1.31	2.31
f(x), x>1	1.32	2.32
f(x), x>1	1.33	2.33
f(x), x>1	1.34	2.34
f(x), x>1	1.35	2.35
f(x), x>1	1.36	2.36
f(x), x>1	1.37	2.37
f(x), x>1	1.38	2.38
f(x), x>1	1.39	2.39
f(x), x>1	1.4	2.4
f(x), x>1	1.41	2.41
f(x), x>1	1.42	2.42
f(x), x>1	1.43	2.43
f(x), x>1	1.44	2.44
f(x), x>1	1.45	2.45
f(x), x>1	1.46	2.46
f(x), x>1	1.47	2.47
f(x), x>1	1.48	2.48
f(x), x>1	1.49	2.49
f(x), x>1	1.5	2.5
f(x), x>1	1.51	2.51
f(x), x>1	1.52	2.52
f(x), x>1	1.53	2.53
f(x), x>1	1.54	2.54
f(x), x>1	1.55	2.55
f(x), x>1	1.56	2.56
f(x), x>1	1.57	2.57
f(x), x>1	1.58	2.58
f(x), x>1	1.59	2.59
f(x), x>1	1.6	2.6
f(x), x>1	1.61	2.61
f(x), x>1	1.62	2.62
f(x), x>1	1.63	2.63
f(x), x>1	1.64	2.64
f(x), x>1	1.65	2.65
f(x), x>1	1.66	2.66
f(x), x>1	1.67	2.67
f(x), x>1	1.68	2.68
f(x), x>1	1.69	2.69
f(x), x>1	1.7	2.7
f(x), x>1	1.71	2.71
f(x), x>1	1.72	2.72
f(x), x>1	1.73	2.73
f(x), x>1	1.74	2.74
f(x), x>1	1.75	2.75
f(x), x>1	1.76	2.76
f(x), x>1	1.77	2.77
f(x), x>1	1.78	2.78
f(x), x>1	1.79	2.79
f(x), x>1	1.8	2.8
f(x), x>1	1.81	2.81
f(x), x>1	1.82	2.82
f(x), x>1	1.83	2.83
f(x), x>1	1.84	2.84
f(x), x>1	1.85	2.85
f(x), x>1	1.86	2.86
f(x), x>1	1.87	2.87
f(x), x>1	1.88	2.88
f(x), x>1	1.89	2.89
f(x), x>1	1.9	2.9
f(x), x>1	1.91	2.91
f(x), x>1	1.92	2.92
f(x), x>1	1.93	2.93
f(x), x>1	1.94	2.94
f(x), x>1	1.95	2.95
f(x), x>1	1.96	2.96
f(x), x>1	1.97	2.97
f(x), x>1	1.98	2.98
f(x), x>1	1.99	2.99
f(x), x>1	2	3
Điểm khuyết	1	2

f(x), x<1 f(x), x>1

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tính lim[x→1](x²−1)/(x−1).

1. 1 Thay trực tiếp cho dạng 0/0 nên cần phân tích.
2. 2 Viết x²−1=(x−1)(x+1).
3. 3 Với x≠1, rút gọn biểu thức thành x+1 rồi lấy giới hạn.

Đáp án: Giới hạn bằng 2.

Tự kiểm: Khi x gần 1 và khác 1, giá trị đúng bằng x+1 nên tiến tới 2.

Ví dụ 2

Tính lim[x→0](√(1+x)−1)/x.

1. 1 Nhân tử và mẫu với √(1+x)+1.
2. 2 Rút gọn thành 1/[√(1+x)+1] với x≠0.
3. 3 Cho x→0, mẫu tiến tới 2.

Đáp án: Giới hạn bằng 1/2.

Tự kiểm: Biểu thức sau rút gọn xác định gần 0 và thay x=0 cho giá trị 1/2.

Ví dụ 3

Tính lim[x→+∞](5x²−3x+1)/(2x²+x).

1. 1 Chia tử và mẫu cho x².
2. 2 Được (5−3/x+1/x²)/(2+1/x).
3. 3 Khi x→+∞, các nghịch đảo của x tiến về 0.

Đáp án: Giới hạn bằng 5/2.

Tự kiểm: Tử và mẫu cùng bậc hai, tỉ số hệ số dẫn đầu là 5/2.

Ví dụ 4

Xét giới hạn hai phía của f(x)=|x|/x khi x→0.

1. 1 Với x<0, |x|=−x nên f(x)=−1; giới hạn trái bằng −1.
2. 2 Với x>0, |x|=x nên f(x)=1; giới hạn phải bằng 1.
3. 3 Hai giới hạn một phía khác nhau.

Đáp án: lim[x→0]|x|/x không tồn tại.

Tự kiểm: Bảng giá trị ở hai phía luôn cho −1 và 1, nên không thể cùng tiến đến một số.

Ví dụ 5

Xác định lim[x→2]1/(x−2)² và mô tả cách đọc xu thế ấy trên đồ thị.

1. 1 Khi x→2 từ mỗi phía, (x−2)² luôn dương và tiến tới 0.
2. 2 Nghịch đảo của một số dương tiến tới 0 sẽ tăng vượt mọi ngưỡng dương.
3. 3 Cả hai nhánh đồ thị đều đi lên không bị chặn khi tiến sát đường thẳng x=2.

Đáp án: lim[x→2]1/(x−2)²=+∞.

Tự kiểm: Hai giới hạn một phía đều bằng +∞; không nhầm với 1/(x−2), biểu thức đổi dấu ở hai phía.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Thay x=a vào dạng 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0 hoặc không tồn tại.
• Sai lầm cần tránh: Chỉ tính giới hạn phải rồi coi là giới hạn hai phía.
• Sai lầm cần tránh: Khử nhân tử x−a nhưng quên rằng biến đổi chỉ đúng với x≠a; dù vậy vẫn có thể dùng cho giới hạn.
• Sai lầm cần tránh: Dùng quy tắc thương khi giới hạn mẫu bằng 0.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng mẫu tiến về 0 thì thương luôn tiến tới +∞, không xét dấu hai phía.
• Sai lầm cần tránh: Dùng L’Hôpital hoặc đạo hàm ngoài phạm vi bài.