Toán lớp 11: Bài 17: Hàm số liên tục

Mục tiêu bài học

• Kiểm tra được ba điều kiện liên tục tại một điểm.
• Xét được tính liên tục của hàm từng phần bằng giới hạn một phía.
• Xác định được khoảng hoặc đoạn liên tục của hàm sơ cấp trên tập xác định.
• Vận dụng được tính liên tục để giải thích sự tồn tại nghiệm trong trường hợp đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Hàm số f liên tục tại a khi f(a) xác định, lim[x→a]f(x) tồn tại và giới hạn ấy bằng f(a). Thiếu bất kì điều kiện nào thì hàm không liên tục tại a.
• Với hàm từng phần, cần tính giới hạn trái từ nhánh bên trái, giới hạn phải từ nhánh bên phải và so sánh chúng với giá trị tại điểm nối. Việc chỉ thế điểm vào một nhánh là chưa đủ.
• Hàm đa thức liên tục trên ℝ; hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0. Các hàm lượng giác cơ bản liên tục trên miền xác định của chúng.
• Tổng, hiệu và tích của các hàm liên tục tại a vẫn liên tục tại a; thương liên tục nếu mẫu tại a khác 0. Hợp của các hàm liên tục cũng liên tục tại những điểm biểu thức có nghĩa.
• Liên tục trên một khoảng nghĩa là liên tục tại mọi điểm của khoảng. Trên đoạn [a;b], tại a chỉ cần liên tục phải và tại b chỉ cần liên tục trái.
• Nếu f liên tục trên [a;b] và f(a),f(b) trái dấu thì tồn tại ít nhất một c thuộc (a;b) sao cho f(c)=0. Kết luận là tồn tại, không khẳng định nghiệm duy nhất.
• Có thể điều chỉnh giá trị tại một điểm để lấp một gián đoạn có giới hạn hữu hạn, nhưng không thể lấp bước nhảy khi hai giới hạn một phía khác nhau bằng một giá trị duy nhất.

Khởi động và dự đoán

• Một công thức từng phần có thể cho hai nhánh gặp nhau tại điểm nối. Ba điều kiện nào bảo đảm đồ thị không bị đứt tại đó?

Thuật ngữ và kí hiệu

liên tục tại điểm liên tục một phía liên tục trên khoảng liên tục trên đoạn hàm từng phần gián đoạn có thể khử định lí tồn tại nghiệm

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
f liên tục tại a ⇔ lim[x→a]f(x)=f(a)	a thuộc tập xác định và giới hạn hai phía tồn tại	Điều kiện cô đọng của tính liên tục tại một điểm.
lim[x→a⁻]f(x)=lim[x→a⁺]f(x)=f(a)	a là điểm trong miền xét	Ba giá trị phải bằng nhau tại điểm nối nội bộ.
lim[x→a⁺]f(x)=f(a)	a là đầu trái của đoạn xác định	Điều kiện liên tục phải tại đầu trái.
lim[x→b⁻]f(x)=f(b)	b là đầu phải của đoạn xác định	Điều kiện liên tục trái tại đầu phải.
f(a)f(b)<0 ⇒ ∃c∈(a;b): f(c)=0	f liên tục trên đoạn [a;b]	Đảm bảo ít nhất một nghiệm nằm giữa hai điểm đổi dấu.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Giới hạn của hàm số. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Tập xác định của hàm số. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Tại đầu mút của đoạn chỉ dùng giới hạn một phía nằm trong đoạn.
• Nếu lim[x→a]f(x)=L hữu hạn nhưng f(a) chưa xác định hoặc khác L, đặt lại f(a)=L sẽ khử được gián đoạn tại a.
• Nếu f(a)f(b)=0 thì một đầu mút đã là nghiệm; điều kiện tích âm dùng để bảo đảm nghiệm nằm trong khoảng mở.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hàm f(x)=x² với x≠1 và f(1)=5 có giới hạn tại 1 bằng 1 nhưng f(1)=5, nên hàm không liên tục dù cả giới hạn và giá trị đều tồn tại.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Kiểm tra tính ổn định của mô hình từng giai đoạn, chọn tham số để nối liền hai công thức và xác nhận phương trình có nghiệm trong một khoảng.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Hàm số liên tục

Tại mỗi điểm đang xét, giới hạn hai phía trùng với giá trị hàm.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Hàm số liên tục

Dãy	x	y
y=x²	-2	4
y=x²	-1.75	3.0625
y=x²	-1.5	2.25
y=x²	-1.25	1.5625
y=x²	-1	1
y=x²	-0.75	0.5625
y=x²	-0.5	0.25
y=x²	-0.25	0.0625
y=x²	0	0
y=x²	0.25	0.0625
y=x²	0.5	0.25
y=x²	0.75	0.5625
y=x²	1	1
y=x²	1.25	1.5625
y=x²	1.5	2.25
y=x²	1.75	3.0625
y=x²	2	4

y=x²

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Xét tính liên tục tại x=2 của f(x)=(x²−4)/(x−2) khi x≠2 và f(2)=4.

1. 1 Với x≠2, rút gọn f(x)=x+2.
2. 2 Suy ra lim[x→2]f(x)=4.
3. 3 So sánh với f(2)=4.

Đáp án: f liên tục tại x=2.

Tự kiểm: Giới hạn hai phía tồn tại và bằng đúng giá trị hàm tại điểm.

Ví dụ 2

Tìm m để f(x)=2x+1 khi x<1 và f(x)=mx−1 khi x≥1 liên tục tại x=1.

1. 1 Giới hạn trái tại 1 là 2·1+1=3.
2. 2 Giá trị và giới hạn phải tại 1 là m−1.
3. 3 Đặt m−1=3 rồi giải m=4.

Đáp án: m=4.

Tự kiểm: Với m=4, hai nhánh đều cho giá trị 3 khi tiến đến điểm nối và f(1)=3.

Ví dụ 3

Tìm các khoảng liên tục của f(x)=(x+1)/(x²−9).

1. 1 Mẫu x²−9 bằng 0 tại x=−3 và x=3.
2. 2 Hàm hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0.
3. 3 Tách trục số tại hai điểm bị loại.

Đáp án: f liên tục trên (−∞;−3), (−3;3) và (3;+∞).

Tự kiểm: Trên mỗi khoảng mẫu không bằng 0; tại ±3 hàm không xác định.

Ví dụ 4

Chứng minh phương trình x³+x−1=0 có ít nhất một nghiệm trong (0;1).

1. 1 Đặt g(x)=x³+x−1, là đa thức nên liên tục trên [0;1].
2. 2 Tính g(0)=−1 và g(1)=1.
3. 3 Vì g(0)g(1)=−1<0, áp dụng định lí tồn tại nghiệm.

Đáp án: Có ít nhất một c∈(0;1) sao cho c³+c−1=0.

Tự kiểm: Lập luận chỉ khẳng định tồn tại; dấu tại hai đầu và tính liên tục trên đoạn đều đã được kiểm tra.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Chỉ kiểm tra f(a) tồn tại rồi kết luận hàm liên tục tại a.
• Sai lầm cần tránh: Chỉ tính giới hạn hai phía mà không so sánh với f(a).
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng hàm hữu tỉ liên tục cả tại nghiệm của mẫu.
• Sai lầm cần tránh: Ở điểm ghép hàm từng phần, dùng cùng một nhánh cho cả hai phía.
• Sai lầm cần tránh: Từ đổi dấu và liên tục kết luận phương trình có đúng một nghiệm.
• Sai lầm cần tránh: Áp dụng định lí tồn tại nghiệm mà không xác nhận tính liên tục trên cả đoạn.