Toán lớp 11: Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Mục tiêu bài học

• Mở rộng được khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên đến hữu tỉ và thực với điều kiện phù hợp.
• Vận dụng được các tính chất lũy thừa để rút gọn biểu thức.
• Xác định đúng điều kiện của biểu thức lũy thừa trong tập số thực.
• Dùng máy tính để tính gần đúng và diễn giải kết quả trong ngữ cảnh.

Kiến thức cần nhớ

• Với số mũ nguyên dương n, a^n là tích của n thừa số a. Với a khác 0, ta có a^0=1 và a^(−n)=1/a^n; vì vậy 0^0 và lũy thừa của 0 với số mũ nguyên âm không được xác định.
• Nếu n chẵn và a>0 thì phương trình x^n=a có hai nghiệm đối nhau; kí hiệu căn bậc n của a chỉ giá trị không âm. Nếu n lẻ thì mỗi số thực a có đúng một căn bậc n.
• Với a>0, m nguyên và n nguyên dương, lũy thừa hữu tỉ a^(m/n) được xác định qua căn bậc n của a^m. Điều kiện cơ số dương giúp định nghĩa nhất quán cho mọi số mũ hữu tỉ và số mũ thực.
• Các quy tắc cộng số mũ khi nhân, trừ số mũ khi chia và nhân số mũ khi lấy lũy thừa tiếp tục đúng với cơ số dương và số mũ thực.
• Hàm theo số mũ có chiều so sánh phụ thuộc cơ số: nếu a>1 thì số mũ lớn hơn cho lũy thừa lớn hơn; nếu 0<a<1 thì chiều so sánh bị đảo.
• Không được tự mở rộng lũy thừa với số mũ vô tỉ sang cơ số âm trong phạm vi số thực; chẳng hạn (−2)^√2 không có giá trị thực theo định nghĩa đang học.

Khởi động và dự đoán

• Hai biểu thức 16^(3/4) và căn bậc bốn của 16 rồi nâng lũy thừa bậc ba có cùng giá trị không?

Thuật ngữ và kí hiệu

lũy thừa số mũ nguyên căn bậc n căn số học lũy thừa số mũ hữu tỉ lũy thừa số mũ thực cơ số số mũ

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
a^0=1; a^(−n)=1/a^n	a≠0 và n là số nguyên dương	Mở rộng lũy thừa sang số mũ 0 và số mũ nguyên âm.
a^(m/n)=ⁿ√(a^m)	a>0, m∈ℤ, n∈ℕ*	Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ trên cơ số dương.
a^u·a^v=a^(u+v); a^u/a^v=a^(u−v)	a>0; u,v∈ℝ	Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số.
(a^u)^v=a^(uv); (ab)^u=a^u·b^u	a>0, b>0; u,v∈ℝ	Lũy thừa của lũy thừa và của một tích dương.
a^u<a^v ⇔ u<v	a>1; u,v∈ℝ	So sánh lũy thừa khi cơ số lớn hơn 1.
a^u<a^v ⇔ u>v	0<a<1; u,v∈ℝ	So sánh lũy thừa khi cơ số nằm giữa 0 và 1.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Lũy thừa số mũ nguyên và căn bậc n. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Số thực và điều kiện biểu thức. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Khi n chẵn, ⁿ√(a^n)=|a|; khi n lẻ, ⁿ√(a^n)=a.
• Trường hợp số mũ 0 hoặc âm bắt buộc loại cơ số 0.
• Một cơ số bằng 1 cho lũy thừa luôn bằng 1 nên không tạo quan hệ so sánh nghiêm theo số mũ.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Đẳng thức √(a²)=a sai với a=−3 vì vế trái bằng 3 còn vế phải bằng −3.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô hình tăng theo cùng một tỉ lệ qua mỗi chu kì dẫn tới lũy thừa; trước khi dùng phải kiểm cơ số dương và ý nghĩa của số mũ.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Lũy thừa với số mũ thực

Cơ số 2>1 nên giá trị tăng và luôn dương.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Lũy thừa với số mũ thực

Dãy	x	y
y=2ˣ	-2	0.25
y=2ˣ	-1.75	0.297302
y=2ˣ	-1.5	0.353553
y=2ˣ	-1.25	0.420448
y=2ˣ	-1	0.5
y=2ˣ	-0.75	0.594604
y=2ˣ	-0.5	0.707107
y=2ˣ	-0.25	0.840896
y=2ˣ	0	1
y=2ˣ	0.25	1.189207
y=2ˣ	0.5	1.414214
y=2ˣ	0.75	1.681793
y=2ˣ	1	2
y=2ˣ	1.25	2.378414
y=2ˣ	1.5	2.828427
y=2ˣ	1.75	3.363586
y=2ˣ	2	4
y=2ˣ	2.25	4.756828
y=2ˣ	2.5	5.656854
y=2ˣ	2.75	6.727171
y=2ˣ	3	8

y=2ˣ

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tính 16^(3/4).

1. 1 Cơ số 16 dương nên lũy thừa hữu tỉ được xác định.
2. 2 Ta có 16^(3/4)=(⁴√16)^3.
3. 3 Vì ⁴√16=2 nên giá trị cần tìm là 2^3=8.

Đáp án: 16^(3/4)=8.

Tự kiểm: Kiểm tra: 8^4=4096 và 16^3=4096, đúng với (16^(3/4))^4=16^3.

Ví dụ 2

Rút gọn a^(3/2)·a^(−1/2) với a>0.

1. 1 Hai lũy thừa có cùng cơ số dương a nên được cộng số mũ.
2. 2 Ta có 3/2+(−1/2)=1.
3. 3 Do đó a^(3/2)·a^(−1/2)=a^1=a.

Đáp án: Biểu thức bằng a.

Tự kiểm: Lấy a=4: 4^(3/2)·4^(−1/2)=8·1/2=4, khớp kết quả.

Ví dụ 3

Tìm số thực x thỏa x^3=−27.

1. 1 Số mũ 3 là số lẻ nên số âm −27 có đúng một căn bậc ba thực.
2. 2 Ta nhận thấy (−3)^3=−27.
3. 3 Vì hàm lập phương tăng nghiêm ngặt trên ℝ nên không có nghiệm thực nào khác.

Đáp án: x=−3.

Tự kiểm: Thay lại: (−3)^3=−27.

Ví dụ 4

So sánh (1/2)^√2 và (1/2)^(3/2).

1. 1 Ta có 1<√2<3/2 vì 2<9/4.
2. 2 Cơ số 1/2 thuộc (0;1), nên lũy thừa nghịch biến theo số mũ.
3. 3 Do √2<3/2, chiều giá trị đảo lại: (1/2)^√2>(1/2)^(3/2).

Đáp án: (1/2)^√2 lớn hơn (1/2)^(3/2).

Tự kiểm: Xấp xỉ hai giá trị lần lượt là 0,375 và 0,354; thứ tự phù hợp.

Ví dụ 5

Một quần thể giả lập có 500 cá thể và tăng 8% sau mỗi chu kì. Dùng máy tính ước lượng số cá thể sau 12 chu kì.

1. 1 Mỗi chu kì nhân với 1+8/100=1,08, nên mô hình là N=500·1,08^12.
2. 2 Nhập máy tính với đầy đủ ngoặc và nhận 1,08^12≈2,518170.
3. 3 Suy ra N≈500·2,518170=1259,085; số cá thể được làm tròn thành số nguyên.

Đáp án: Mô hình cho khoảng 1.259 cá thể sau 12 chu kì.

Tự kiểm: Giá trị lớn hơn 500 và hệ số tổng khoảng 2,52 phù hợp với tăng 8% lặp lại; đây là kết quả của mô hình giả lập, không phải dự báo vô điều kiện.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Viết a^0=0 thay vì a^0=1 với a khác 0.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng 0^(−2) có nghĩa và bằng 0.
• Sai lầm cần tránh: Rút gọn √(a²)=a với mọi a, bỏ mất trị tuyệt đối.
• Sai lầm cần tránh: Gán một giá trị thực cho cơ số âm nâng lên số mũ vô tỉ.
• Sai lầm cần tránh: Giữ nguyên chiều so sánh số mũ khi cơ số thuộc khoảng (0;1).