Toán lớp 11: Bài 19: Lôgarit

Mục tiêu bài học

• Nêu và sử dụng được định nghĩa lôgarit với đúng điều kiện cơ số và đối số.
• Vận dụng được các tính chất lôgarit của tích, thương và lũy thừa.
• Đổi được cơ số và tính được giá trị lôgarit trong trường hợp phù hợp.
• Rút gọn được biểu thức lôgarit mà không làm mở rộng miền xác định.

Kiến thức cần nhớ

• Với a>0, a khác 1 và M>0, logarit cơ số a của M là số thực α duy nhất sao cho a^α=M.
• Điều kiện của một biểu thức logarit gồm hai phần độc lập: cơ số phải dương và khác 1, đối số phải dương.
• Logarit biến phép nhân của các số dương thành phép cộng, phép chia thành phép trừ và lũy thừa của một số dương thành phép nhân với số mũ.
• Công thức đổi cơ số cho phép tính logarit theo một cơ số thuận tiện; mẫu log_b(a) không bằng 0 vì a khác 1.
• Logarit thập phân có cơ số 10 và thường viết log M; logarit tự nhiên có cơ số e và viết ln M.
• Không có quy tắc tách logarit của một tổng hoặc hiệu. Mọi phép biến đổi phải bảo toàn điều kiện dương của từng đối số xuất hiện.

Khởi động và dự đoán

• Số mũ nào của 2 tạo ra 32, và cách ghi câu hỏi đó bằng kí hiệu lôgarit là gì?

Thuật ngữ và kí hiệu

lôgarit cơ số đối số đổi cơ số lôgarit thập phân lôgarit tự nhiên

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
log_a(M)=α ⇔ a^α=M	a>0, a≠1, M>0	Định nghĩa lôgarit cơ số a của M.
log_a(MN)=log_a(M)+log_a(N)	a>0, a≠1, M>0, N>0	Quy tắc lôgarit của một tích.
log_a(M/N)=log_a(M)−log_a(N)	a>0, a≠1, M>0, N>0	Quy tắc lôgarit của một thương.
log_a(M^r)=r·log_a(M)	a>0, a≠1, M>0, r∈ℝ	Đưa số mũ của một số dương ra trước lôgarit.
log_a(M)=log_b(M)/log_b(a)	a>0, a≠1, b>0, b≠1, M>0	Đổi từ cơ số a sang cơ số b.
log_a(1)=0; log_a(a)=1; a^(log_a M)=M	a>0, a≠1, M>0	Các hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Lũy thừa với số mũ thực. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Phương trình mũ đơn giản. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• log_a(1)=0 với mọi cơ số hợp lệ, kể cả khi 0<a<1.
• log_a(a^r)=r với mọi r thực khi cơ số a hợp lệ.
• Biểu thức log(x²) xác định với x≠0 nhưng không được đổi thành 2log(x) khi x<0.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Đẳng thức log_2(1+3)=log_2(1)+log_2(3) sai vì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng log_2(3).

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Các thang đo decibel, pH hoặc độ lớn động đất dùng lôgarit để nén một khoảng giá trị rất rộng; phải đọc đúng cơ số và đơn vị trong công thức cho sẵn.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Lôgarit

Đồ thị chỉ nằm bên phải trục tung và đi qua (1;0).

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Lôgarit

Dãy	x	y
y=log₂x	0.25	-2
y=log₂x	0.5	-1
y=log₂x	0.75	-0.415037
y=log₂x	1	0
y=log₂x	1.25	0.321928
y=log₂x	1.5	0.584963
y=log₂x	1.75	0.807355
y=log₂x	2	1
y=log₂x	2.25	1.169925
y=log₂x	2.5	1.321928
y=log₂x	2.75	1.459432
y=log₂x	3	1.584963
y=log₂x	3.25	1.70044
y=log₂x	3.5	1.807355
y=log₂x	3.75	1.906891
y=log₂x	4	2
y=log₂x	4.25	2.087463
y=log₂x	4.5	2.169925
y=log₂x	4.75	2.247928
y=log₂x	5	2.321928
y=log₂x	5.25	2.392317
y=log₂x	5.5	2.459432
y=log₂x	5.75	2.523562
y=log₂x	6	2.584963
y=log₂x	6.25	2.643856
y=log₂x	6.5	2.70044
y=log₂x	6.75	2.754888
y=log₂x	7	2.807355
y=log₂x	7.25	2.857981
y=log₂x	7.5	2.906891
y=log₂x	7.75	2.954196
y=log₂x	8	3

y=log₂x

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tính log_2(32).

1. 1 Cơ số 2 dương, khác 1 và đối số 32 dương nên biểu thức có nghĩa.
2. 2 Viết 32=2^5.
3. 3 Theo định nghĩa logarit, log_2(2^5)=5.

Đáp án: log_2(32)=5.

Tự kiểm: Kiểm tra bằng chiều ngược: 2^5=32.

Ví dụ 2

Tính log_3(27/√3).

1. 1 Ta có 27=3^3 và √3=3^(1/2).
2. 2 Suy ra 27/√3=3^(3−1/2)=3^(5/2).
3. 3 Do đó log_3(27/√3)=log_3(3^(5/2))=5/2.

Đáp án: Giá trị bằng 5/2.

Tự kiểm: Kiểm tra: 3^(5/2)=9√3=27/√3.

Ví dụ 3

Dùng đổi cơ số để tính log_4(8).

1. 1 Các số 4 và 8 đều dương, cơ số 4 khác 1.
2. 2 Đổi sang cơ số 2: log_4(8)=log_2(8)/log_2(4).
3. 3 Ta có log_2(8)=3 và log_2(4)=2, nên thương bằng 3/2.

Đáp án: log_4(8)=3/2.

Tự kiểm: Kiểm tra: 4^(3/2)=(√4)^3=8.

Ví dụ 4

Mức cường độ âm được cho bởi L=10log(I/I₀) dB. Tính L khi I=10^6I₀.

1. 1 Tỉ số I/I₀=10^6 là số dương nên lôgarit có nghĩa.
2. 2 Theo quy ước log không ghi cơ số ở đây là logarit cơ số 10.
3. 3 L=10log(10^6)=10·6=60.

Đáp án: Mức cường độ âm là 60 dB.

Tự kiểm: Thay ngược L/10=6, nên I/I₀=10^6 đúng dữ kiện.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Cho phép cơ số logarit bằng 1 hoặc không dương.
• Sai lầm cần tránh: Tính logarit của 0 hoặc một số âm trong tập số thực.
• Sai lầm cần tránh: Viết log_a(M+N)=log_a(M)+log_a(N).
• Sai lầm cần tránh: Viết log_a(M/N)=log_a(M)/log_a(N).
• Sai lầm cần tránh: Dùng log_a(M^r)=r log_a(M) mà không bảo đảm M>0.