Toán lớp 11: Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Mục tiêu bài học

• Xác định được tập xác định, tập giá trị và tính đơn điệu của hàm mũ theo cơ số.
• Xác định được tập xác định, tập giá trị và tính đơn điệu của hàm lôgarit.
• Vẽ và so sánh được đồ thị hàm mũ, lôgarit; nhận biết tính đối xứng qua y bằng x.
• Mô hình hóa được tăng trưởng hoặc suy giảm mũ trong tình huống đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Với a>0 và a khác 1, hàm số mũ y=a^x có tập xác định ℝ, tập giá trị (0;+∞), đi qua (0;1) và (1;a).
• Hàm số mũ đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1; đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành và không nhận giá trị 0.
• Với a>0 và a khác 1, hàm số lôgarit y=log_a(x) có tập xác định (0;+∞), tập giá trị ℝ, đi qua (1;0) và (a;1).
• Hàm lôgarit có cùng chiều biến thiên theo cơ số như hàm mũ: đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1.
• Hai hàm y=a^x và y=log_a(x) là hai hàm ngược nhau; đồ thị của chúng đối xứng qua đường y=x.
• Trong mô hình thực tế y=C·a^t với C>0, a>1 mô tả tăng trưởng còn 0<a<1 mô tả suy giảm; tham số và miền thời gian phải theo ngữ cảnh.

Khởi động và dự đoán

• Khi x tăng thêm 1, giá trị của 2^x được nhân 2; điều gì xảy ra với (1/2)^x?

Thuật ngữ và kí hiệu

hàm số mũ hàm số lôgarit tập xác định tập giá trị đồng biến nghịch biến hàm ngược tăng trưởng suy giảm

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
y=a^x	a>0, a≠1, x∈ℝ	Hàm số mũ cơ số a, có giá trị luôn dương.
y=log_a(x)	a>0, a≠1, x>0	Hàm số lôgarit cơ số a.
a^(log_a x)=x; log_a(a^x)=x	a>0, a≠1; trong đẳng thức đầu x>0	Quan hệ hai hàm ngược nhau.
f(x+1)=a·f(x)	f(x)=a^x với a>0, a≠1	Mỗi khi biến tăng 1, giá trị hàm mũ được nhân với a.
M(t)=M₀·a^t	M₀>0, a>0; t thuộc miền thời gian của mô hình	Mô hình tăng trưởng hoặc suy giảm theo tỉ lệ cố định.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Lũy thừa và lôgarit. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Đồ thị và tính đơn điệu đọc từ biểu diễn. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Tại x=0, mọi hàm mũ có cơ số hợp lệ đều nhận giá trị 1.
• Tại x=1, mọi hàm lôgarit có cơ số hợp lệ đều nhận giá trị 0.
• Khi a tiến gần 1, đồ thị vẫn tuân điều kiện a≠1; trường hợp a=1 là hàm hằng, không gọi là hàm số mũ theo định nghĩa này.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Mệnh đề “đồ thị y=(1/2)^x đi lên khi x tăng vì mọi lũy thừa đều tăng” sai: f(0)=1 nhưng f(1)=1/2.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Hàm số mũ mô tả khối lượng chất phóng xạ, số lượng vi sinh vật hoặc lãi kép; hàm lôgarit giúp tìm thời gian khi mức cần đạt đã biết.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hai đồ thị đối xứng qua y=x vì hai hàm ngược nhau trên miền tương ứng.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Dãy	x	y
y=2ˣ	-2	0.25
y=2ˣ	-1.8	0.287175
y=2ˣ	-1.6	0.329877
y=2ˣ	-1.4	0.378929
y=2ˣ	-1.2	0.435275
y=2ˣ	-1	0.5
y=2ˣ	-0.8	0.574349
y=2ˣ	-0.6	0.659754
y=2ˣ	-0.4	0.757858
y=2ˣ	-0.2	0.870551
y=2ˣ	0	1
y=2ˣ	0.2	1.148698
y=2ˣ	0.4	1.319508
y=2ˣ	0.6	1.515717
y=2ˣ	0.8	1.741101
y=2ˣ	1	2
y=2ˣ	1.2	2.297397
y=2ˣ	1.4	2.639016
y=2ˣ	1.6	3.031433
y=2ˣ	1.8	3.482202
y=2ˣ	2	4
y=log₂x	0.25	-2
y=log₂x	0.4	-1.321928
y=log₂x	0.55	-0.862496
y=log₂x	0.7	-0.514573
y=log₂x	0.85	-0.234465
y=log₂x	1	0
y=log₂x	1.15	0.201634
y=log₂x	1.3	0.378512
y=log₂x	1.45	0.536053
y=log₂x	1.6	0.678072
y=log₂x	1.75	0.807355
y=log₂x	1.9	0.925999
y=log₂x	2.05	1.035624
y=log₂x	2.2	1.137504
y=log₂x	2.35	1.232661
y=log₂x	2.5	1.321928
y=log₂x	2.65	1.405992
y=log₂x	2.8	1.485427
y=log₂x	2.95	1.560715
y=log₂x	3.1	1.632268
y=log₂x	3.25	1.70044
y=log₂x	3.4	1.765535
y=log₂x	3.55	1.827819
y=log₂x	3.7	1.887525
y=log₂x	3.85	1.944858
y=log₂x	4	2
Trục đối xứng y=x	-2	-2
Trục đối xứng y=x	-1.7	-1.7
Trục đối xứng y=x	-1.4	-1.4
Trục đối xứng y=x	-1.1	-1.1
Trục đối xứng y=x	-0.8	-0.8
Trục đối xứng y=x	-0.5	-0.5
Trục đối xứng y=x	-0.2	-0.2
Trục đối xứng y=x	0.1	0.1
Trục đối xứng y=x	0.4	0.4
Trục đối xứng y=x	0.7	0.7
Trục đối xứng y=x	1	1
Trục đối xứng y=x	1.3	1.3
Trục đối xứng y=x	1.6	1.6
Trục đối xứng y=x	1.9	1.9
Trục đối xứng y=x	2.2	2.2
Trục đối xứng y=x	2.5	2.5
Trục đối xứng y=x	2.8	2.8
Trục đối xứng y=x	3.1	3.1
Trục đối xứng y=x	3.4	3.4
Trục đối xứng y=x	3.7	3.7
Trục đối xứng y=x	4	4

y=2ˣ y=log₂x Trục đối xứng y=x

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tìm tập xác định của y=log_2(x−3).

1. 1 Cơ số 2 dương và khác 1 nên hợp lệ.
2. 2 Đối số logarit phải dương: x−3>0.
3. 3 Giải bất phương trình được x>3.

Đáp án: Tập xác định là (3;+∞).

Tự kiểm: Tại x=4, đối số bằng 1 nên có nghĩa; tại x=3, đối số bằng 0 nên bị loại.

Ví dụ 2

Xét chiều biến thiên của f(x)=(1/3)^x và tính f(−1), f(0), f(1).

1. 1 Cơ số 1/3 thuộc khoảng (0;1), nên f nghịch biến trên ℝ.
2. 2 f(−1)=(1/3)^(−1)=3 và f(0)=1.
3. 3 f(1)=1/3, vì vậy khi x tăng từ −1 đến 1, giá trị giảm 3, 1, 1/3.

Đáp án: Hàm nghịch biến; ba giá trị lần lượt là 3, 1, 1/3.

Tự kiểm: Thứ tự −1<0<1 đi cùng 3>1>1/3, đúng tính nghịch biến.

Ví dụ 3

Nêu ba điểm đặc trưng của đồ thị y=log_3(x) và điểm tương ứng trên y=3^x.

1. 1 Chọn x=1,3,9 cho hàm logarit: các giá trị là 0,1,2.
2. 2 Ba điểm là (1;0), (3;1), (9;2).
3. 3 Đổi chỗ hoành và tung được (0;1), (1;3), (2;9), đều thuộc đồ thị y=3^x.

Đáp án: Các cặp điểm tương ứng đối xứng qua y=x.

Tự kiểm: Kiểm tra 3^0=1, 3^1=3, 3^2=9.

Ví dụ 4

Một mẫu chất có khối lượng M(t)=80·(1/2)^(t/4) mg. Tính khối lượng sau 12 giờ.

1. 1 Thay t=12, số mũ là 12/4=3.
2. 2 M(12)=80·(1/2)^3.
3. 3 (1/2)^3=1/8 nên M(12)=10 mg.

Đáp án: Sau 12 giờ còn 10 mg.

Tự kiểm: Mỗi 4 giờ khối lượng giảm một nửa: 80→40→20→10, khớp phép tính.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Cho rằng hàm số mũ có thể bằng 0 hoặc nhận giá trị âm.
• Sai lầm cần tránh: Cho hàm lôgarit xác định tại x=0 hoặc x<0.
• Sai lầm cần tránh: Kết luận mọi hàm mũ và lôgarit đều đồng biến.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm hàm ngược log_a(x) với nghịch đảo 1/a^x.
• Sai lầm cần tránh: Vẽ đồ thị hàm mũ cắt trục hoành hoặc đồ thị logarit cắt trục tung.