Toán lớp 11: Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Mục tiêu bài học

• Giải được phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ đơn giản.
• Giải được phương trình lôgarit với đầy đủ điều kiện xác định.
• Giải được bất phương trình mũ, lôgarit dựa trên tính đơn điệu của cơ số.
• Lập và giải được mô hình lãi suất, tăng trưởng, pH hoặc độ rung chấn phù hợp.

Kiến thức cần nhớ

• Phương trình mũ cơ bản a^x=b với a>0, a khác 1 có đúng một nghiệm x=log_a(b) khi b>0 và vô nghiệm khi b không dương.
• Phương trình logarit cơ bản log_a(x)=b có nghiệm duy nhất x=a^b; điều kiện x>0 được thỏa tự động nhưng các phương trình biến đổi vẫn phải xét miền.
• Khi hai vế là các lũy thừa cùng một cơ số hợp lệ, có thể so sánh số mũ; khi hai logarit cùng cơ số có đối số dương, có thể so sánh đối số.
• Bất phương trình mũ và logarit giữ chiều khi a>1, nhưng đảo chiều khi 0<a<1.
• Mọi nghiệm của phương trình có logarit phải thuộc miền xác định ban đầu; bình phương, đặt ẩn hoặc gộp logarit có thể tạo ứng viên cần thử lại.
• Bài toán thực tế phải giải trong miền thời gian phù hợp và làm tròn theo ý nghĩa của đại lượng, không chỉ theo thao tác máy tính.
• Với biểu thức chứa a^(2x) và a^x, đặt t=a^x>0 có thể đưa phương trình về bậc hai theo t. Sau khi giải phải loại nghiệm t≤0 rồi đổi lại x; phép đặt ẩn chỉ an toàn khi ghi rõ miền của t.
• Khi mô hình có dạng P(t)=P₀a^t, nghiệm logarit thường là một thời điểm thực. Nếu câu hỏi đòi “năm nguyên đầu tiên” hoặc “sau bao nhiêu chu kì trọn vẹn”, phải lấy số nguyên phù hợp và kiểm tra hai mốc kề.

Khởi động và dự đoán

• Nếu 2^x=8 thì đọc ngay x=3; khi vế phải không phải lũy thừa quen thuộc, lôgarit giúp biểu diễn nghiệm.

Thuật ngữ và kí hiệu

phương trình mũ phương trình lôgarit bất phương trình mũ bất phương trình lôgarit nghiệm miền xác định ngưỡng

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
a^x=b ⇔ x=log_a(b)	a>0, a≠1, b>0	Nghiệm của phương trình mũ cơ bản.
log_a(x)=b ⇔ x=a^b	a>0, a≠1, x>0	Nghiệm của phương trình lôgarit cơ bản.
a^u>a^v ⇔ u>v	a>1; u,v là biểu thức thực	So sánh số mũ với cơ số lớn hơn 1.
a^u>a^v ⇔ u<v	0<a<1; u,v là biểu thức thực	So sánh số mũ với cơ số giữa 0 và 1.
log_a(u)>log_a(v) ⇔ u>v>0	a>1	So sánh đối số của logarit đồng biến.
log_a(u)>log_a(v) ⇔ 0<u<v	0<a<1	So sánh đối số của logarit nghịch biến.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Hàm số mũ và lôgarit. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Biến đổi phương trình, bất phương trình. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu b=0 thì a^x=0 vô nghiệm vì mọi lũy thừa cơ số dương đều dương.
• Với bất phương trình a^x>b và b≤0, mọi x thực đều thỏa vì a^x>0.
• Bất phương trình logarit luôn phải giao kết quả so sánh với điều kiện đối số dương.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Phương trình log_2(x−3)=log_2(1−x) cho phương trình đại số x−3=1−x với ứng viên x=2, nhưng ứng viên này bị loại vì không thể đồng thời có x>3 và x<1; phương trình gốc vô nghiệm.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tìm thời điểm một quần thể đạt ngưỡng, một chất giảm dưới mức an toàn hoặc một khoản tiền đạt mục tiêu là bài toán phương trình/bất phương trình mũ.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Giao điểm tại x=2 giúp đọc nghiệm 2ˣ=4 và miền của bất phương trình.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Dãy	x	y
y=2ˣ	-2	0.25
y=2ˣ	-1.75	0.297302
y=2ˣ	-1.5	0.353553
y=2ˣ	-1.25	0.420448
y=2ˣ	-1	0.5
y=2ˣ	-0.75	0.594604
y=2ˣ	-0.5	0.707107
y=2ˣ	-0.25	0.840896
y=2ˣ	0	1
y=2ˣ	0.25	1.189207
y=2ˣ	0.5	1.414214
y=2ˣ	0.75	1.681793
y=2ˣ	1	2
y=2ˣ	1.25	2.378414
y=2ˣ	1.5	2.828427
y=2ˣ	1.75	3.363586
y=2ˣ	2	4
y=2ˣ	2.25	4.756828
y=2ˣ	2.5	5.656854
y=2ˣ	2.75	6.727171
y=2ˣ	3	8
y=4	-2	4
y=4	-1	4
y=4	0	4
y=4	1	4
y=4	2	4
y=4	3	4

y=2ˣ y=4

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Giải phương trình 2^(x+1)=1/8.

1. 1 Viết 1/8=2^(−3).
2. 2 Hai vế có cùng cơ số 2>0, 2≠1 nên x+1=−3.
3. 3 Giải phương trình bậc nhất được x=−4.

Đáp án: Nghiệm là x=−4.

Tự kiểm: Thay lại: 2^(−4+1)=2^(−3)=1/8.

Ví dụ 2

Giải phương trình log_3(2x−1)=2.

1. 1 Điều kiện xác định: 2x−1>0, tức x>1/2.
2. 2 Theo định nghĩa logarit, 2x−1=3^2=9.
3. 3 Suy ra 2x=10 nên x=5; giá trị này thỏa điều kiện.

Đáp án: Nghiệm là x=5.

Tự kiểm: Thay lại: log_3(9)=2.

Ví dụ 3

Giải bất phương trình (1/4)^(x−1)>(1/4)^2.

1. 1 Cơ số 1/4 thuộc (0;1), nên khi so sánh số mũ phải đảo chiều.
2. 2 Bất phương trình tương đương x−1<2.
3. 3 Suy ra x<3.

Đáp án: Tập nghiệm là (−∞;3).

Tự kiểm: Lấy x=2 thì (1/4)^1>(1/4)^2 đúng; lấy x=4 thì bất phương trình sai.

Ví dụ 4

Giải bất phương trình log_(1/2)(x+1)≥log_(1/2)(3x−1).

1. 1 Điều kiện: x+1>0 và 3x−1>0, suy ra x>1/3.
2. 2 Cơ số 1/2 thuộc (0;1), nên bất phương trình tương đương x+1≤3x−1.
3. 3 Giải được x≥1; giao với điều kiện x>1/3 vẫn là x≥1.

Đáp án: Tập nghiệm là [1;+∞).

Tự kiểm: Tại x=1 hai đối số cùng bằng 2 nên có dấu bằng; tại x=1/2, điều kiện đúng nhưng chiều logarit không thỏa.

Ví dụ 5

Giải phương trình 4^x−5·2^x+4=0.

1. 1 Đặt t=2^x>0; khi đó 4^x=t².
2. 2 Phương trình thành t²−5t+4=0, suy ra t=1 hoặc t=4; cả hai đều dương.
3. 3 Giải 2^x=1 và 2^x=4 được x=0 hoặc x=2.

Đáp án: Tập nghiệm là {0;2}.

Tự kiểm: Thay x=0: 1−5+4=0; thay x=2: 16−20+4=0.

Ví dụ 6

Một quần thể có P(t)=200·1,05^t cá thể sau t năm. Tìm năm nguyên đầu tiên quần thể đạt ít nhất 300 cá thể.

1. 1 Giải 200·1,05^t≥300, tương đương 1,05^t≥1,5.
2. 2 Vì cơ số 1,05>1, suy ra t≥log(1,5)/log(1,05)≈8,31.
3. 3 Thời gian tính theo số năm trọn vẹn nên năm nguyên đầu tiên là t=9; kiểm tra t=8 chưa đủ và t=9 đã đạt ngưỡng.

Đáp án: Năm thứ 9 là năm nguyên đầu tiên quần thể đạt ít nhất 300 cá thể.

Tự kiểm: 200·1,05^8≈295,49<300 còn 200·1,05^9≈310,27≥300.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Cho phương trình a^x=b có nghiệm dù b≤0.
• Sai lầm cần tránh: Bỏ điều kiện đối số dương trước khi giải phương trình logarit.
• Sai lầm cần tránh: Không đảo chiều bất phương trình khi cơ số thuộc (0;1).
• Sai lầm cần tránh: Từ hai lũy thừa cùng cơ số suy ra hai số mũ bằng nhau dù cơ số không dương hoặc bằng 1.
• Sai lầm cần tránh: Giữ nghiệm làm cho một đối số logarit bằng 0.