Toán lớp 11: Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Mục tiêu bài học

• Xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
• Nhận biết và chứng minh được hai đường thẳng vuông góc.
• Chuyển được bài toán góc giữa hai đường về hai đường cắt nhau song song tương ứng.
• Tính được góc trong các khối quen thuộc bằng quan hệ hình học.

Kiến thức cần nhớ

• Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc không tù giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường đã cho.
• Để xác định góc giữa hai đường chéo nhau, có thể chọn một điểm trên một đường rồi kẻ qua đó đường song song với đường còn lại, đưa bài toán về góc phẳng.
• Số đo góc giữa hai đường thẳng luôn thuộc đoạn từ 0° đến 90°; nếu hai đường song song thì góc bằng 0°.
• Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°. Trong không gian, hai đường vuông góc không nhất thiết phải cắt nhau.
• Khi đã đưa hai phương về cùng một mặt phẳng, có thể dùng tính chất tam giác, định lí Pythagore hoặc định lí côsin để tính góc.
• Không giao nhau không đủ để kết luận hai đường song song, vì hai đường còn có thể chéo nhau.

Khởi động và dự đoán

• Hai cạnh không gặp nhau của một chiếc hộp vẫn có thể tạo với nhau một góc; ta xác định góc đó bằng cách tịnh tiến phương của một cạnh.

Thuật ngữ và kí hiệu

góc giữa hai đường thẳng hai đường chéo nhau hai đường vuông góc phương của đường thẳng góc không tù

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
0°≤(a,b)≤90°	a,b là hai đường thẳng trong không gian	Miền giá trị của góc giữa hai đường thẳng.
(a,b)=(a′,b′)	a′∥a, b′∥b và a′,b′ cùng đi qua một điểm	Đưa hai phương về một điểm để xác định góc.
a⊥b ⇔ (a,b)=90°	a,b là hai đường thẳng xác định	Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc.
cos A=(b²+c²−a²)/(2bc)	Trong tam giác, cạnh a đối diện góc A; hai cạnh b,c kề góc A và b,c>0	Tính góc phẳng đại diện bằng định lí côsin.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Quan hệ song song trong không gian. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Góc và vuông góc trong mặt phẳng. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Hai đường song song có góc bằng 0°, không phải không có góc.
• Hai đường chéo nhau vẫn có thể vuông góc nếu hai phương tạo góc 90°.
• Khi hai tia tạo góc 120°, góc giữa hai đường chứa chúng là 60°.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trong một tứ diện, hai cạnh đối không có điểm chung nhưng là hai đường chéo nhau, không phải hai đường song song; “không cắt nhau” chưa đủ để kết luận song song.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Góc giữa các thanh của khung mái, khung hộp hoặc hai mép cửa được tính theo phương thực của chúng, không theo độ nghiêng nhìn thấy trên bản vẽ.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Hai đường thẳng vuông góc

Dấu vuông tại giao điểm biểu diễn góc 90°.

a b O

a⊥b

a∩b={O}

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Trong lăng trụ ABC.A′B′C′, tam giác ABC vuông tại B và ∠A=35°. Tính góc giữa AC và B′C′.

1. 1 Trong lăng trụ, B′C′ song song với BC.
2. 2 Vì vậy góc giữa AC và B′C′ bằng góc giữa AC và BC, tức góc ACB.
3. 3 Tam giác ABC vuông tại B nên ∠ACB=90°−35°=55°.

Đáp án: Góc giữa AC và B′C′ bằng 55°.

Tự kiểm: Góc 55° thuộc [0°;90°] và được tạo bởi hai phương AC, BC đúng yêu cầu.

Ví dụ 2

Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, chứng minh AA′ vuông góc với BC.

1. 1 Qua B, đường BB′ song song với AA′.
2. 2 Mặt BCC′B′ là hình vuông nên BB′ vuông góc BC.
3. 3 Góc giữa AA′ và BC bằng góc giữa BB′ và BC, tức 90°.

Đáp án: AA′⊥BC dù hai đường này không cắt nhau.

Tự kiểm: Kết luận dùng đúng định nghĩa góc giữa hai đường qua đường song song BB′, không dựa vào hình vẽ.

Ví dụ 3

Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, tính góc giữa AC và A′B′ khi AB=3, AD=4.

1. 1 A′B′ song song với AB nên góc cần tìm bằng góc giữa AC và AB.
2. 2 Tam giác ABC vuông tại B có AC=√(3²+4²)=5.
3. 3 cos góc CAB=AB/AC=3/5; gọi α là góc nhọn thỏa cos α=3/5.

Đáp án: Góc giữa AC và A′B′ là góc nhọn α thỏa cos α=3/5; dùng máy tính được α≈53,13°.

Tự kiểm: Giá trị là góc nhọn và cos bằng 3/5 đúng từ tam giác vuông 3–4–5.

Ví dụ 4

Hai đường thẳng a và b có các đường song song a′, b′ cắt nhau tại O với góc a′Ob′ bằng 130°. Tính góc giữa a và b.

1. 1 Hai phương a,b được đại diện bởi a′,b′.
2. 2 Hai góc kề tạo bởi a′ và b′ là 130° và 50°.
3. 3 Góc giữa hai đường là góc không tù, nên chọn 50°.

Đáp án: Góc giữa a và b bằng 50°.

Tự kiểm: 50° thuộc [0°;90°]; dùng 130° sẽ vi phạm miền giá trị của góc giữa hai đường.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Cho rằng hai đường không giao nhau thì song song.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng hai đường vuông góc bắt buộc phải cắt nhau.
• Sai lầm cần tránh: Chọn góc tù giữa hai tia làm góc giữa hai đường thẳng.
• Sai lầm cần tránh: Đo trực tiếp góc trên hình phối cảnh thay vì suy luận từ dữ kiện.
• Sai lầm cần tránh: Kẻ đường phụ không thật sự song song với đường cần chuyển phương.