Toán lớp 11: Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Mục tiêu bài học

• Vận dụng được điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
• Suy ra được các quan hệ vuông góc từ đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
• Vận dụng được tính chất mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.
• Dựng và nhận biết được các khối có đường cao vuông góc đáy.

Kiến thức cần nhớ

• Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
• Tiêu chuẩn thực hành quan trọng: nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a,b cùng nằm trong (P), thì d vuông góc với (P). Điều kiện a,b cắt nhau là bắt buộc.
• Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước và duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
• Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì nó cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại; hai đường phân biệt cùng vuông góc một mặt phẳng thì song song.
• Mặt phẳng đi qua trung điểm đoạn AB và vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của AB; mọi điểm trên đó cách đều A và B, và chiều đảo cũng đúng.
• Một hình vẽ cho cảm giác vuông góc không phải là chứng minh; lời giải phải chỉ ra hai đường cắt nhau trong mặt phẳng hoặc một định lí chuyển quan hệ hợp lệ.

Khởi động và dự đoán

• Một chiếc cột vuông góc với hai mép sân cắt nhau có vuông góc với toàn bộ mặt sân không?

Thuật ngữ và kí hiệu

đường thẳng vuông góc mặt phẳng chân đường vuông góc tiêu chuẩn hai đường cắt nhau tính duy nhất mặt phẳng trung trực

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
d⊥(P)	d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P)	Kí hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
d⊥a và d⊥b ⇒ d⊥(P)	a,b⊂(P) và a,b cắt nhau	Tiêu chuẩn chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
MA=MB ⇔ M thuộc mặt phẳng trung trực của AB	A≠B	Đặc trưng quỹ tích của mặt phẳng trung trực.
d₁∥d₂	d₁,d₂ phân biệt và cùng vuông góc với một mặt phẳng	Quan hệ song song suy từ cùng phương vuông góc với mặt phẳng.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu điểm cho trước nằm ngay trên mặt phẳng, đường vuông góc duy nhất vẫn tồn tại và cắt mặt tại chính điểm đó.
• Một đường vuông góc với hai đường song song trong mặt phẳng chưa đủ để kết luận vuông góc với mặt phẳng.
• Nếu M là trung điểm AB thì mặt phẳng trung trực đi qua M, không phải mọi mặt phẳng đi qua M đều là mặt phẳng trung trực.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường a và b song song. Một đường d có thể vuông góc với cả a và b nhưng vẫn nằm trong (P), nên d không vuông góc với (P).

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Kiểm tra một cột có thẳng đứng so với mặt sàn có thể quy về kiểm tra nó vuông góc với hai phương cắt nhau trên mặt sàn.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hai đường a,b cắt nhau tại H và cùng nằm trong (P); d vuông góc với cả hai nên d⊥(P).

d H a b (P)

a,b⊂(P)

a∩b={H}

d⊥a

d⊥b

d⊥(P)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, chứng minh AA′⊥(ABCD).

1. 1 Mặt bên ABB′A′ là hình vuông nên AA′⊥AB.
2. 2 Mặt bên ADD′A′ là hình vuông nên AA′⊥AD.
3. 3 Hai đường AB và AD cắt nhau tại A và cùng thuộc (ABCD), nên AA′⊥(ABCD).

Đáp án: AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Tự kiểm: Lời giải đã chỉ đủ hai đường AB, AD cắt nhau trong mặt phẳng đáy.

Ví dụ 2

Cho hình chóp S.ABCD với SA⊥AB, SA⊥AD và AB,AD cắt nhau. Chứng minh SA⊥(ABCD).

1. 1 Hai đường AB và AD cùng nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD).
2. 2 Theo giả thiết, SA vuông góc với cả AB và AD.
3. 3 Vì AB và AD cắt nhau tại A, áp dụng tiêu chuẩn hai đường cắt nhau được SA⊥(ABCD).

Đáp án: SA⊥(ABCD).

Tự kiểm: Nếu bỏ giả thiết AB và AD cắt nhau, tiêu chuẩn chưa đủ; ở đây điều kiện đã được kiểm.

Ví dụ 3

Đoạn AB dài 10 cm, O là trung điểm AB. Mặt phẳng (Q) đi qua O và vuông góc AB. Với M∈(Q), MA=13 cm. Tính MO.

1. 1 Vì M thuộc mặt phẳng trung trực của AB nên MA=MB và MO⊥AB.
2. 2 OA=AB/2=5 cm.
3. 3 Tam giác MOA vuông tại O nên MO=√(MA²−OA²)=√(169−25)=12 cm.

Đáp án: MO=12 cm.

Tự kiểm: Kiểm tra 5²+12²=13².

Ví dụ 4

Cho d⊥(P) và e∥d, trong đó e khác d. Chứng minh e⊥(P).

1. 1 Vì d⊥(P), phương của d là phương vuông góc với mặt phẳng (P).
2. 2 Đường e song song d nên e có cùng phương với d.
3. 3 Mọi đường thẳng song song với một đường vuông góc mặt phẳng cũng vuông góc với mặt phẳng đó.

Đáp án: e⊥(P).

Tự kiểm: Qua mỗi điểm trên e chỉ có một đường vuông góc với (P); đường ấy có phương d, đúng với e.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Chỉ chứng minh đường thẳng vuông góc với một đường trong mặt phẳng rồi kết luận vuông góc mặt phẳng.
• Sai lầm cần tránh: Dùng hai đường song song trong mặt phẳng thay cho hai đường cắt nhau.
• Sai lầm cần tránh: Kết luận hai đường cùng vuông góc mặt phẳng là trùng nhau thay vì song song hoặc trùng; khi nói song song phải có điều kiện phân biệt.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm mặt phẳng trung trực với một đường trung trực duy nhất.
• Sai lầm cần tránh: Suy ra quan hệ chỉ vì các nét vẽ trông như góc vuông.