Toán lớp 11: Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Mục tiêu bài học

• Xác định được hình chiếu vuông góc của điểm và đường thẳng lên mặt phẳng.
• Vận dụng được định lí ba đường vuông góc qua hình chiếu.
• Tính được góc đường thẳng-mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ đơn giản.
• Vận dụng được góc nghiêng vào bài toán đo đạc hoặc thiết kế.

Kiến thức cần nhớ

• Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) là phép chiếu song song theo phương vuông góc với (P). Hình chiếu của một điểm là chân đường vuông góc từ điểm đó xuống (P).
• Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P), hình chiếu của a là một đường a′ trong (P). Nếu a vuông góc với (P), hình chiếu của a thu lại thành một điểm.
• Định lí ba đường vuông góc: với a không vuông góc (P), một đường b nằm trong (P) vuông góc a khi và chỉ khi b vuông góc hình chiếu a′ của a trên (P).
• Nếu a không vuông góc (P), góc giữa a và (P) là góc giữa a với hình chiếu a′; nếu a vuông góc (P), góc bằng 90°.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thuộc [0°;90°]. Đường nằm trong hoặc song song mặt phẳng có góc 0°.
• Trong tam giác vuông tạo bởi một đoạn xiên, hình chiếu và đường cao, có thể dùng sin, cos hoặc tan để tính góc nghiêng.

Khởi động và dự đoán

• Bóng vuông góc của một đoạn xiên lên mặt sàn giúp ta xác định góc nghiêng của đoạn đó với sàn.

Thuật ngữ và kí hiệu

phép chiếu vuông góc hình chiếu định lí ba đường vuông góc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đoạn xiên

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
b⊥a ⇔ b⊥a′	b⊂(P); a không vuông góc (P); a′ là hình chiếu của a trên (P)	Định lí ba đường vuông góc.
(a,(P))=(a,a′)	a không vuông góc (P), a′ là hình chiếu của a trên (P)	Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
0°≤(a,(P))≤90°	a là đường thẳng, (P) là mặt phẳng	Miền giá trị của góc đường–mặt.
tan α=h/l	Trong tam giác vuông, h là độ cao vuông góc và l là độ dài hình chiếu khác 0	Tính góc nghiêng α của đoạn xiên so với mặt phẳng.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu a⊥(P), hình chiếu của a là một điểm và góc đường–mặt được quy ước bằng 90°.
• Nếu a⊂(P) hoặc a∥(P), góc giữa a và (P) bằng 0°.
• Định lí ba đường vuông góc yêu cầu a không vuông góc với mặt phẳng để hình chiếu a′ là một đường.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trong mặt phẳng (P), một đường b có thể tạo góc 30° với hình chiếu a′; khi đó không thể kết luận b vuông góc với a chỉ vì b nằm trong (P).

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Góc dốc của mái, cầu thang hoặc dây neo so với mặt đất được tính từ chiều cao và độ dài hình chiếu ngang.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định lí ba đường vuông góc: với AB là đường xiên và HB là hình chiếu trên (P), đường a qua B trong (P) vuông góc HB khi và chỉ khi a vuông góc AB.

A H B a (P)

AH⊥(P)

HB là hình chiếu của AB

a⊂(P)

B∈a

a⊥HB ⇔ a⊥AB

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC). Xác định hình chiếu của SC trên (ABC) và góc giữa SC với (ABC).

1. 1 Hình chiếu của S lên (ABC) là A vì SA⊥(ABC).
2. 2 Điểm C đã nằm trong (ABC), nên hình chiếu của C là chính C.
3. 3 Do đó hình chiếu của SC là AC và góc giữa SC với (ABC) là góc SCA.

Đáp án: Hình chiếu là AC; góc cần tìm là ∠SCA.

Tự kiểm: Góc SCA được tạo bởi SC và AC tại C, trong đó AC nằm trong mặt phẳng đáy.

Ví dụ 2

Trong hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA=3 và AC=4. Tính góc α giữa SC và (ABC).

1. 1 Hình chiếu của SC trên (ABC) là AC, nên α=∠SCA.
2. 2 Tam giác SAC vuông tại A, có tan α=SA/AC=3/4.
3. 3 Vì vậy α là góc nhọn thỏa tan α=3/4; dùng máy tính được α≈36,87°.

Đáp án: α là góc nhọn thỏa tan α=3/4 và α≈36,87°.

Tự kiểm: Tam giác 3–4–5 cho sin α=3/5 và một góc nhọn, phù hợp kết quả.

Ví dụ 3

Cho SA⊥(ABC), AB⊥BC. Chứng minh SB⊥BC.

1. 1 Hình chiếu vuông góc của SB trên (ABC) là AB.
2. 2 Đường BC nằm trong (ABC) và BC⊥AB theo giả thiết.
3. 3 Theo định lí ba đường vuông góc, BC⊥SB.

Đáp án: SB⊥BC.

Tự kiểm: Các giả thiết của định lí đều đủ: SB không vuông góc đáy, BC thuộc đáy và AB là hình chiếu.

Ví dụ 4

Một dây neo dài 10 m nối đỉnh cột với điểm trên mặt đất cách chân cột 8 m. Tính góc của dây với mặt đất.

1. 1 Chân cột là hình chiếu của đỉnh cột lên mặt đất, nên đoạn 8 m là hình chiếu của dây.
2. 2 Tam giác tạo bởi cột, mặt đất và dây vuông, với cos α=8/10=4/5.
3. 3 Suy ra α là góc nhọn thỏa cos α=4/5; dùng máy tính được α≈36,87°.

Đáp án: Góc của dây với mặt đất xấp xỉ 36,87°.

Tự kiểm: Chiều cao cột là √(10²−8²)=6 m, nên tan α=6/8=3/4, cho cùng góc.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Lấy góc giữa đường thẳng với một đường tùy ý trong mặt phẳng.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm góc đường–mặt với góc giữa đường và pháp tuyến mà không lấy góc phụ.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng đường song song mặt phẳng có góc khác 0°.
• Sai lầm cần tránh: Áp dụng định lí ba đường vuông góc khi b không nằm trong mặt phẳng chiếu.
• Sai lầm cần tránh: Coi hình chiếu của đường vuông góc mặt phẳng vẫn là một đường.