Toán lớp 11: Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Mục tiêu bài học

• Xác định được góc nhị diện và góc phẳng của góc nhị diện.
• Xác định và tính được góc giữa hai mặt phẳng.
• Vận dụng được điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
• Nhận biết được quan hệ vuông góc trong lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, chóp đều.

Kiến thức cần nhớ

• Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng và luôn được lấy trong [0°;90°].
• Khi hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến Δ, có thể lấy trong mỗi mặt một đường cùng vuông góc Δ tại một điểm; góc không tù giữa hai đường đó là góc giữa hai mặt phẳng.
• Hai mặt phẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°. Một tiêu chuẩn đủ là một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
• Nếu hai mặt phẳng vuông góc, mọi đường trong một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.
• Góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng chung bờ; số đo góc nhị diện là số đo góc phẳng nhị diện và có thể nằm trong [0°;180°]. Vì vậy góc nhị diện tù không mâu thuẫn với góc giữa hai mặt phẳng luôn không tù.
• Lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc đáy; lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Chóp đều có đáy đều và chân đường cao tại tâm đáy; chỉ có đáy đều chưa đủ.

Khởi động và dự đoán

• Khi mở một quyển sách, hai trang tạo thành một góc nhị diện; góc này khác gì góc giữa hai mặt phẳng chứa hai trang?

Thuật ngữ và kí hiệu

góc giữa hai mặt phẳng hai mặt phẳng vuông góc giao tuyến góc nhị diện góc phẳng nhị diện lăng trụ đứng lăng trụ đều hình chóp đều hình chóp cụt đều

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
0°≤((P),(Q))≤90°	(P),(Q) là hai mặt phẳng	Miền giá trị của góc giữa hai mặt phẳng.
((P),(Q))=(a,b)	(P)∩(Q)=Δ; a⊂(P), b⊂(Q), a⊥Δ, b⊥Δ tại cùng một điểm	Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng tiết diện vuông góc giao tuyến.
(P)⊥(Q)	(P) chứa một đường d với d⊥(Q)	Tiêu chuẩn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
0°≤[M,Δ,N]≤180°	M,N thuộc hai nửa mặt phẳng của một góc nhị diện có cạnh Δ	Miền số đo của một góc nhị diện cụ thể.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Hình chiếu vuông góc. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Hai mặt phẳng song song có góc bằng 0°.
• Một góc nhị diện có thể bằng 180°, trong khi góc giữa hai mặt phẳng chứa nó bằng 0°.
• Nếu một góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng bằng 90° thì các góc nhị diện còn lại cũng bằng 90°.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hai mặt phẳng cắt nhau theo Δ; chọn hai đường a,b cùng song song Δ thì góc giữa a,b bằng 0° nhưng không cho biết góc giữa hai mặt phẳng.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Góc nhị diện xuất hiện ở mái nhà, cánh cửa, nếp gấp; các mô hình lăng trụ đứng và chóp đều dùng để mô tả công trình và vật chứa.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Hai mặt phẳng vuông góc

Mặt phẳng chứa một đường vuông góc mặt phẳng kia cho tiêu chuẩn thường dùng.

(P) (Q) a

(P)⊥(Q)

a=(P)∩(Q)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD). Chứng minh (SAB)⊥(ABCD).

1. 1 Đường SA nằm trong mặt phẳng (SAB).
2. 2 Theo giả thiết, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
3. 3 Một mặt phẳng chứa một đường vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc.

Đáp án: (SAB)⊥(ABCD).

Tự kiểm: Tiêu chuẩn được áp dụng với đường SA thuộc mặt thứ nhất và vuông góc mặt thứ hai.

Ví dụ 2

Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật, SA=3, AB=4. Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).

1. 1 Hai mặt phẳng cắt nhau theo BC; trong đáy có AB⊥BC.
2. 2 Hình chiếu của SB lên đáy là AB, nên từ AB⊥BC suy ra SB⊥BC.
3. 3 Góc giữa hai mặt là ∠SBA. Trong tam giác SAB vuông tại A, tan∠SBA=SA/AB=3/4.

Đáp án: Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn α thỏa tan α=3/4; dùng máy tính được α≈36,87°.

Tự kiểm: Hai đường SB và AB cùng vuông góc giao tuyến BC; góc thu được là góc nhọn đúng định nghĩa.

Ví dụ 3

Một góc nhị diện có góc phẳng bằng 120°. Tính số đo góc nhị diện và góc giữa hai mặt phẳng chứa nó.

1. 1 Số đo góc nhị diện bằng số đo góc phẳng nhị diện, nên bằng 120°.
2. 2 Hai mặt phẳng tạo các góc phẳng kề bù 120° và 60°.
3. 3 Góc giữa hai mặt phẳng là góc không tù, nên bằng 60°.

Đáp án: Góc nhị diện bằng 120°; góc giữa hai mặt phẳng bằng 60°.

Tự kiểm: 60° thuộc [0°;90°], còn 120° được phép đối với một góc nhị diện cụ thể.

Ví dụ 4

Phân loại lăng trụ ABC.A′B′C′ biết AA′⊥(ABC) và tam giác ABC đều.

1. 1 AA′ là cạnh bên và vuông góc mặt đáy, nên lăng trụ là lăng trụ đứng.
2. 2 Đáy ABC là tam giác đều, tức một đa giác đều.
3. 3 Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều.

Đáp án: Đó là lăng trụ tam giác đều.

Tự kiểm: Cả hai điều kiện “đứng” và “đáy đều” đều đã được kiểm, không chỉ dựa vào hình dạng đáy.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Cho rằng góc giữa hai mặt phẳng có thể là một góc tù.
• Sai lầm cần tránh: Lấy hai đường bất kì thuộc hai mặt phẳng để đo góc giữa hai mặt.
• Sai lầm cần tránh: Kết luận hai mặt phẳng vuông góc chỉ vì chúng cắt nhau.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm một góc nhị diện 120° với góc 120° giữa hai mặt phẳng; góc giữa hai mặt khi đó là 60°.
• Sai lầm cần tránh: Gọi mọi hình chóp có đáy đều là hình chóp đều.