Toán lớp 11: Bài 26: Khoảng cách

Mục tiêu bài học

• Dựng và tính được khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
• Tính được khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
• Tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
• Xác định và tính được đoạn vuông góc chung của hai đường chéo nhau trong trường hợp đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Khoảng cách từ điểm M đến đường a hoặc mặt phẳng (P) là độ dài đoạn nối M với hình chiếu vuông góc tương ứng; khoảng cách bằng 0 đúng khi M thuộc đối tượng.
• Khoảng cách giữa đường a song song với (P) và (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt này đến mặt kia; khoảng cách giữa hai đường song song được định nghĩa tương tự.
• Với hai đường chéo nhau a,b, đường cắt cả hai và vuông góc với cả hai là đường vuông góc chung; đoạn bị chắn trên đó có độ dài bằng khoảng cách giữa a,b.
• Khoảng cách hai đường chéo nhau cũng có thể quy về khoảng cách từ một đường đến mặt phẳng song song chứa đường kia, hoặc khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường.
• Một cạnh bên, đường chéo hay đoạn nhìn có vẻ ngắn không tự động là khoảng cách; phải chứng minh vuông góc và đúng điểm đầu mút.

Khởi động và dự đoán

• Trong mọi đoạn nối một điểm với mặt phẳng, đoạn vuông góc là ngắn nhất và được chọn làm khoảng cách.

Thuật ngữ và kí hiệu

khoảng cách điểm–đường khoảng cách điểm–mặt khoảng cách đường–mặt khoảng cách hai mặt hai đường chéo nhau đường vuông góc chung

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
d(M,a)=MH	H∈a và MH⊥a	Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a.
d(M,(P))=MH	H∈(P) và MH⊥(P)	Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
d(a,(P))=d(M,(P))	a∥(P) và M là điểm bất kì trên a	Khoảng cách giữa đường thẳng song song và mặt phẳng.
d((P),(Q))=d(M,(Q))	(P)∥(Q) và M là điểm bất kì thuộc (P)	Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
d(a,b)=MN	a,b chéo nhau; M∈a, N∈b và MN⊥a, MN⊥b	Khoảng cách qua đoạn vuông góc chung.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Quan hệ vuông góc đường-mặt và hai mặt. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Đường cao trong tam giác. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Khoảng cách bằng 0 khi điểm nằm trên đường/mặt; các công thức đường–mặt ở đây giả sử song song chứ không cắt.
• Hai đường cắt nhau có khoảng cách bằng 0 nhưng không thuộc trường hợp hai đường chéo nhau.
• Đường vuông góc chung của hai đường chéo phải cắt cả hai đường.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trong tam giác vuông MHK tại H, đoạn MK nối M với đường chứa H,K dài hơn MH; vì vậy không thể chọn MK làm khoảng cách từ M đến đường đó.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Chiều cao phòng, độ sâu bể, khoảng hở giữa hai mặt song song và khoảng cách giữa hai thanh chéo đều là các bài toán khoảng cách.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Khoảng cách

Đoạn vuông góc là đoạn ngắn nhất từ điểm đến mặt phẳng.

A H (P)

AH⊥(P)

d(A,(P))=AH

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) và SA=5 cm. Tính d(S,(ABCD)).

1. 1 Điểm A thuộc mặt phẳng (ABCD).
2. 2 Đoạn SA vuông góc với (ABCD), nên A là hình chiếu của S lên đáy.
3. 3 Khoảng cách từ S đến đáy bằng độ dài SA=5 cm.

Đáp án: d(S,(ABCD))=5 cm.

Tự kiểm: Đoạn được chọn có một đầu S, một đầu thuộc mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng.

Ví dụ 2

Trong hình lập phương cạnh a, tính khoảng cách từ AB đến mặt phẳng (CDD′C′).

1. 1 AB song song CD và CD nằm trong (CDD′C′), đồng thời AB không nằm trong mặt đó, nên AB∥(CDD′C′).
2. 2 Chọn điểm B trên AB; đoạn BC vuông góc CD và CC′, là hai đường cắt nhau trong (CDD′C′).
3. 3 Suy ra BC⊥(CDD′C′), nên d(AB,(CDD′C′))=BC=a.

Đáp án: Khoảng cách bằng a.

Tự kiểm: Chọn điểm A cho đoạn AD cũng dài a và vuông góc mặt, xác nhận khoảng cách không phụ thuộc điểm chọn.

Ví dụ 3

Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AA′=h, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.

1. 1 Hai mặt phẳng (ABCD) và (A′B′C′D′) song song.
2. 2 Cạnh AA′ vuông góc với mặt phẳng đáy vì hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng.
3. 3 Do A thuộc đáy dưới và A′ thuộc đáy trên, AA′ là đoạn vuông góc chung của hai mặt.

Đáp án: d((ABCD),(A′B′C′D′))=h.

Tự kiểm: Mọi cạnh bên BB′, CC′, DD′ cũng có độ dài h, cho cùng kết quả.

Ví dụ 4

Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có BC=q, tính khoảng cách giữa AB và CC′.

1. 1 Đường AB nằm trong đáy còn CC′ là cạnh bên, nên chúng không cắt nhau và không song song; chúng chéo nhau.
2. 2 Đoạn BC cắt AB tại B, cắt CC′ tại C; trong hình hộp chữ nhật có BC⊥AB và BC⊥CC′.
3. 3 Vì vậy BC là đoạn vuông góc chung của AB và CC′, có độ dài q.

Đáp án: d(AB,CC′)=q.

Tự kiểm: Đoạn được chọn cắt cả hai đường và vuông góc với cả hai, đúng định nghĩa đường vuông góc chung.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Lấy độ dài một đoạn nối tùy ý làm khoảng cách.
• Sai lầm cần tránh: Dùng cạnh xiên thay cho đường cao vuông góc.
• Sai lầm cần tránh: Gọi một đoạn chỉ vuông góc với một trong hai đường chéo là đoạn vuông góc chung.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng khoảng cách từ đường song song đến mặt phẳng phụ thuộc điểm được chọn trên đường.
• Sai lầm cần tránh: Đọc hoặc đo độ dài trực tiếp trên hình phối cảnh.