Toán lớp 11: Bài 27: Thể tích

Mục tiêu bài học

• Tính được thể tích khối chóp từ diện tích đáy và chiều cao.
• Tính được thể tích lăng trụ và hình hộp.
• Tính được thể tích chóp cụt đều trong trường hợp phù hợp.
• Vận dụng được tỉ số thể tích và mô hình hóa với đúng đơn vị khối.

Kiến thức cần nhớ

• Khối là phần không gian được giới hạn bởi các mặt của hình tương ứng; cần phân biệt thể tích khối với diện tích bề mặt của hình.
• Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích một đáy nhân với chiều cao vuông góc giữa hai đáy; cạnh bên chỉ là chiều cao khi lăng trụ đứng.
• Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân chiều cao từ đỉnh đến mặt đáy.
• Thể tích chóp cụt đều phụ thuộc diện tích hai đáy và chiều cao, có thêm trung bình nhân √(SS′); không được chỉ cộng hai diện tích đáy.
• Muốn dùng công thức, phải xác định đúng mặt đáy, tính đúng diện tích đáy và tìm chiều cao vuông góc, thường qua một tam giác vuông.
• Các khối cùng diện tích đáy S và cùng chiều cao h có tỉ số thể tích bằng tỉ số các hệ số đứng trước Sh; vì thế một khối chóp và một khối lăng trụ như vậy có tỉ số thể tích 1:3.
• Đơn vị thể tích tăng theo lập phương: 1 m³=1000 dm³=1000 lít và 1 m³=10^6 cm³.

Khởi động và dự đoán

• Hai khối có cùng diện tích đáy và chiều cao nhưng một khối là lăng trụ, một khối là chóp: thể tích khác nhau theo hệ số nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

khối lăng trụ khối chóp khối chóp cụt đều diện tích đáy chiều cao thể tích dung tích

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
V=Sh	Khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h	Thể tích khối lăng trụ.
V=(1/3)Sh	Khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h	Thể tích khối chóp.
V=(1/3)h(S+S′+√(SS′))	Khối chóp cụt đều có hai diện tích đáy S,S′ và chiều cao h	Thể tích khối chóp cụt đều.
V_chóp/V_lăng trụ=1/3	Hai khối có cùng diện tích đáy S>0 và cùng chiều cao h>0	So sánh thể tích khối chóp với khối lăng trụ cùng đáy và chiều cao.
1 m³=1000 dm³=1000 L	Các đơn vị mét khối, đềximét khối và lít	Đổi đơn vị thể tích thông dụng.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Diện tích phẳng và đường cao vuông góc đáy. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Quan hệ song song, vuông góc trong khối. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu chiều cao bằng 0 thì mô hình suy biến có thể tích bằng 0; các khối thông thường yêu cầu h>0.
• Lăng trụ xiên vẫn có V=Sh nhưng h không bằng cạnh bên.
• Khi S=S′, công thức chóp cụt cho V=Sh, phù hợp trường hợp giới hạn thành lăng trụ.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Một chóp có S=12 cm², h=5 cm không có thể tích 60 cm³; giá trị đúng là (1/3)·12·5=20 cm³.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tính dung tích bể, thể tích phòng để chọn công suất điều hòa, lượng vật liệu hoặc sức chứa là các ứng dụng trực tiếp của thể tích.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Thể tích

Chiều cao phải vuông góc với mặt phẳng đáy, không mặc định là cạnh bên.

S A B C H

SH⊥(ABC)

V=(1/3)Sđáy·SH

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Một khối lăng trụ và một khối chóp có cùng diện tích đáy 12 cm², cùng chiều cao 5 cm. Tính hai thể tích và tỉ số V_chóp:V_lăng trụ.

1. 1 Khối lăng trụ có V₁=Sh=12·5=60 cm³.
2. 2 Khối chóp có V₂=(1/3)Sh=(1/3)·12·5=20 cm³.
3. 3 Tỉ số V₂:V₁=20:60=1:3.

Đáp án: V_lăng trụ=60 cm³, V_chóp=20 cm³ và V_chóp:V_lăng trụ=1:3.

Tự kiểm: Hai khối có cùng S,h; tỉ số 1:3 khớp trực tiếp với hai hệ số 1/3 và 1 trong công thức.

Ví dụ 2

Khối chóp đều đáy vuông cạnh 6 cm, chiều cao 4 cm. Tính thể tích.

1. 1 Diện tích đáy vuông là S=6²=36 cm².
2. 2 Khối chóp dùng công thức V=(1/3)Sh.
3. 3 V=(1/3)·36·4=48 cm³.

Đáp án: Thể tích bằng 48 cm³.

Tự kiểm: Một lăng trụ cùng đáy và chiều cao có thể tích 144 cm³; chóp bằng đúng một phần ba.

Ví dụ 3

Khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy 36 cm² và 9 cm², chiều cao 4 cm. Tính thể tích.

1. 1 Tính √(SS′)=√(36·9)=18 cm².
2. 2 Tổng trong ngoặc là 36+9+18=63 cm².
3. 3 V=(1/3)·4·63=84 cm³.

Đáp án: Thể tích bằng 84 cm³.

Tự kiểm: 84 nằm giữa thể tích hai lăng trụ cùng chiều cao có đáy 9 và 36, tức giữa 36 và 144 cm³.

Ví dụ 4

Một bể dạng hình hộp chữ nhật dài 0,8 m, rộng 0,5 m, cao 0,6 m. Bể chỉ chứa nước đến 90% thể tích. Tính lượng nước theo lít.

1. 1 Thể tích toàn bể là 0,8·0,5·0,6=0,24 m³.
2. 2 Lượng nước bằng 90%: 0,9·0,24=0,216 m³.
3. 3 Đổi sang lít: 0,216·1000=216 L.

Đáp án: Bể chứa 216 lít nước ở mức 90%.

Tự kiểm: 216 L nhỏ hơn dung tích tối đa 240 L và bằng đúng 90% của 240 L.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Dùng cạnh bên xiên làm chiều cao.
• Sai lầm cần tránh: Quên hệ số 1/3 trong thể tích khối chóp.
• Sai lầm cần tránh: Dùng diện tích mặt bên thay cho diện tích đáy.
• Sai lầm cần tránh: Tính chóp cụt bằng (1/3)h(S+S′), bỏ √(SS′).
• Sai lầm cần tránh: Đổi 1 m³ thành 1000 cm³ thay vì 10^6 cm³.