Toán lớp 11: Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Mục tiêu bài học

• Mô tả được biến cố hợp, biến cố giao và biến cố đối trong không gian mẫu.
• Biểu diễn được quan hệ biến cố bằng tập hợp, sơ đồ hoặc lời.
• Nhận biết được hai biến cố độc lập từ giả thiết hoặc kiểm tra xác suất.
• Phân biệt được độc lập với xung khắc bằng lập luận hoặc phản ví dụ.

Kiến thức cần nhớ

• Biến cố hợp A∪B xảy ra khi ít nhất một trong A,B xảy ra; từ “hoặc” trong biến cố hợp có nghĩa bao hàm, nên cho phép cả hai cùng xảy ra.
• Biến cố giao A∩B xảy ra khi cả A và B đồng thời xảy ra. Trong mô hình cổ điển, hợp và giao là các phép toán trên hai tập con của không gian mẫu.
• Hai biến cố xung khắc có giao rỗng, nghĩa là không thể đồng thời xảy ra. Khái niệm này khác với độc lập.
• Hai biến cố độc lập khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi khả năng xảy ra của biến cố kia.
• Nếu A và B độc lập thì các cặp A với biến cố đối của B, biến cố đối của A với B, và hai biến cố đối cũng độc lập.
• Hai phép thử trên hai thiết bị riêng không tự động bảo đảm độc lập nếu đề bài cho biết chúng có yếu tố chung; tính độc lập phải đến từ mô hình hoặc dữ liệu.

Khởi động và dự đoán

• Khi gieo một xúc xắc, biến cố “ra số chẵn hoặc lớn hơn 4” gồm những kết quả nào và kết quả nào thuộc cả hai mô tả?

Thuật ngữ và kí hiệu

biến cố hợp biến cố giao biến cố độc lập biến cố xung khắc biến cố đối không gian mẫu

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
A∪B={ω∈Ω | ω∈A hoặc ω∈B}	A,B là các biến cố trong cùng không gian mẫu Ω	Biến cố ít nhất một trong A,B xảy ra.
A∩B={ω∈Ω | ω∈A và ω∈B}	A,B là các biến cố trong cùng không gian mẫu Ω	Biến cố cả A và B xảy ra.
A∩B=∅	A và B không thể đồng thời xảy ra	Điều kiện hai biến cố xung khắc.
A∪B=B∪A; A∩B=B∩A	A,B là hai biến cố	Tính giao hoán của hợp và giao.
A∩Ā=∅; A∪Ā=Ω	Ā là biến cố đối của A trong Ω	Quan hệ giữa một biến cố và biến cố đối.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Không gian mẫu, biến cố và xác suất cổ điển. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Hợp, giao và phần bù tập hợp. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• A∪A=A và A∩A=A.
• A và biến cố đối Ā luôn xung khắc; nếu 0<P(A)<1 thì chúng không độc lập.
• Biến cố chắc chắn Ω độc lập với mọi biến cố theo tiêu chuẩn xác suất, nhưng trường hợp này không minh họa trực giác về hai phép thử riêng.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Khi gieo một xúc xắc, A là “ra số chẵn”, B là “ra số lẻ”. Hai biến cố xung khắc nhưng biết A xảy ra khiến B chắc chắn không xảy ra, nên chúng không độc lập.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tách các nhóm khách hàng thuộc ít nhất một tiêu chí, đồng thời hai tiêu chí, hoặc nghiên cứu hai kết quả độc lập là ứng dụng của hợp, giao và độc lập.

Minh họa trực quan

Sơ đồ hai biến cố — Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Miền chồng nhau là A∩B; toàn bộ hai miền là A∪B.

A∩B xảy ra khi A và B cùng xảy ra

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Gieo một xúc xắc. A là “ra số chẵn”, B là “ra số lớn hơn 4”. Liệt kê A∪B và A∩B.

1. 1 Không gian mẫu là Ω={1,2,3,4,5,6}; A={2,4,6}.
2. 2 B={5,6}. Hợp lấy các kết quả thuộc ít nhất một tập: A∪B={2,4,5,6}.
3. 3 Giao chỉ lấy kết quả thuộc cả hai tập: A∩B={6}.

Đáp án: A∪B={2,4,5,6}; A∩B={6}.

Tự kiểm: Kết quả 6 có mặt trong cả hợp và giao; 5 chỉ thuộc hợp vì không chẵn.

Ví dụ 2

Tung một đồng xu cân đối và gieo một xúc xắc cân đối trên hai thiết bị riêng, việc vận hành thiết bị này không ảnh hưởng thiết bị kia. A là “xu xuất hiện ngửa”, B là “xúc xắc ra số chẵn”. Hai biến cố có độc lập không và A∩B là gì?

1. 1 Biểu diễn kết quả theo cặp (mặt xu, số chấm).
2. 2 Do hai thiết bị không ảnh hưởng nhau, mô hình cho A và B độc lập; A gồm các cặp có mặt ngửa, B gồm các cặp có số chấm 2,4,6.
3. 3 A∩B={(ngửa,2),(ngửa,4),(ngửa,6)}.

Đáp án: A và B độc lập; giao gồm (ngửa,2), (ngửa,4), (ngửa,6).

Tự kiểm: Tính độc lập được nhận từ cơ chế hai thiết bị không ảnh hưởng nhau; mỗi kết quả trong giao đồng thời thỏa A và B.

Ví dụ 3

Rút một thẻ từ các thẻ 1 đến 10. A là “số nhỏ hơn 4”, B là “số lớn hơn 7”. Hai biến cố có xung khắc không?

1. 1 A={1,2,3}.
2. 2 B={8,9,10}.
3. 3 Hai tập không có phần tử chung, nên A∩B=∅.

Đáp án: A và B xung khắc.

Tự kiểm: Không có số nào vừa nhỏ hơn 4 vừa lớn hơn 7.

Ví dụ 4

Tung hai đồng xu độc lập. A là “đồng xu thứ nhất ngửa”, B là “đồng xu thứ hai ngửa”. Nêu biến cố A∩B̄.

1. 1 B̄ là biến cố đồng xu thứ hai xuất hiện sấp.
2. 2 A yêu cầu đồng xu thứ nhất ngửa.
3. 3 Do đó A∩B̄ là kết quả (ngửa,sấp).

Đáp án: A∩B̄={(ngửa,sấp)}.

Tự kiểm: Kết quả này thỏa A và không thỏa B, đúng định nghĩa giao với biến cố đối.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Hiểu “A hoặc B” là đúng một trong hai, loại trường hợp cả hai.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm A∪B với A∩B.
• Sai lầm cần tránh: Đồng nhất hai biến cố xung khắc với hai biến cố độc lập.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng độc lập nghĩa là hai tập kết quả không giao nhau.
• Sai lầm cần tránh: Kết luận độc lập chỉ vì hai biến cố có tên hoặc nội dung khác nhau.