Toán lớp 11: Bài 29: Công thức cộng xác suất

Mục tiêu bài học

• Vận dụng được công thức cộng xác suất tổng quát cho hai biến cố.
• Nhận biết và sử dụng được công thức rút gọn khi hai biến cố xung khắc.
• Vận dụng được biến cố đối để tính xác suất ít nhất một.
• Kết hợp được phép đếm với công thức cộng trong mô hình hữu hạn đồng khả năng.

Kiến thức cần nhớ

• Hai biến cố A,B xung khắc khi A∩B rỗng; lúc đó xác suất hợp bằng tổng hai xác suất vì không có kết quả bị đếm trùng.
• Với hai biến cố bất kì, P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Thành phần giao bị trừ đúng một lần để sửa phần đã cộng hai lần.
• Công thức cộng có thể được biến đổi để tìm xác suất giao hoặc một xác suất thành phần, nhưng kết quả phải nằm trong [0;1].
• Xác suất giao phải nằm giữa max(0,P(A)+P(B)−1) và min(P(A),P(B)); đây là kiểm tra nhanh tính khả thi của dữ liệu.
• Các bài khảo sát hai nhóm có cùng cấu trúc với sơ đồ Ven: số phần tử hoặc tỉ lệ của hợp bằng tổng hai nhóm trừ phần giao.
• Khi cần xác suất “không A cũng không B”, có thể dùng biến cố đối của A∪B: P(overline(A∪B))=1−P(A∪B).

Khởi động và dự đoán

• Nếu 60% học sinh thích môn A, 50% thích môn B và 20% thích cả hai, ta không thể cộng 60%+50% vì phần thích cả hai bị đếm hai lần.

Thuật ngữ và kí hiệu

biến cố xung khắc công thức cộng xác suất phần giao ít nhất một không biến cố nào sơ đồ Ven

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
P(A∪B)=P(A)+P(B)	A∩B=∅	Công thức cộng cho hai biến cố xung khắc.
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)	A,B là hai biến cố trong cùng phép thử	Công thức cộng xác suất tổng quát.
P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)	Các xác suất đã cho thuộc một mô hình nhất quán	Tìm xác suất giao từ công thức cộng.
P(overline(A∪B))=1−P(A∪B)	overline(A∪B) là biến cố đối của A∪B	Xác suất không A cũng không B.
max(0,P(A)+P(B)−1)≤P(A∩B)≤min(P(A),P(B))	A,B là hai biến cố	Giới hạn khả thi của xác suất giao.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Biến cố hợp và giao. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Xác suất cổ điển và phép đếm. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu A⊂B thì A∪B=B và A∩B=A; công thức cộng vẫn cho đúng P(B).
• Nếu P(A)+P(B)>1 thì A và B không thể xung khắc.
• Nếu A=B thì công thức tổng quát cho P(A∪A)=P(A), không phải 2P(A).

Phản ví dụ chống học máy móc

• Với P(A)=0,6 và P(B)=0,5, hai biến cố không thể xung khắc vì tổng 1,1 vượt 1; phần giao phải có xác suất ít nhất 0,1.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Công thức cộng dùng để tính tỉ lệ người thuộc ít nhất một nhóm, nguy cơ xảy ra ít nhất một sự cố hoặc xác suất đạt ít nhất một tiêu chí.

Minh họa trực quan

Sơ đồ hai biến cố — Công thức cộng xác suất

Khi cộng P(A)+P(B), phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ P(A∩B).

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Gieo một xúc xắc. A là “ra 1”, B là “ra 6”. Tính P(A∪B).

1. 1 A và B không thể đồng thời xảy ra trong một lần gieo, nên chúng xung khắc.
2. 2 P(A)=1/6 và P(B)=1/6.
3. 3 P(A∪B)=1/6+1/6=1/3.

Đáp án: P(A∪B)=1/3.

Tự kiểm: Có đúng hai kết quả thuận lợi trong sáu kết quả đồng khả năng, nên xác suất 2/6=1/3.

Ví dụ 2

Một câu lạc bộ có 48 thành viên: 19 bạn thích thiên văn, 17 bạn thích robot, 8 bạn thích cả hai. Chọn ngẫu nhiên một thành viên. Tính xác suất bạn đó thích ít nhất một lĩnh vực.

1. 1 Số thành viên thuộc hợp là 19+17−8=28.
2. 2 Có 48 thành viên được chọn đồng khả năng.
3. 3 Xác suất là 28/48=7/12.

Đáp án: Xác suất bằng 7/12.

Tự kiểm: Phần thích cả hai được cộng trong 19 và 17 rồi trừ đúng một lần; 28 không vượt tổng 48.

Ví dụ 3

Cho P(A)=0,6, P(B)=0,5 và P(A∪B)=0,8. Tính P(A∩B).

1. 1 Dùng công thức biến đổi P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B).
2. 2 Thay số được 0,6+0,5−0,8=0,3.
3. 3 Giá trị 0,3 nằm giữa 0,1 và min(0,6;0,5)=0,5 nên khả thi.

Đáp án: P(A∩B)=0,3.

Tự kiểm: Thay lại: 0,6+0,5−0,3=0,8 đúng xác suất hợp.

Ví dụ 4

Cho P(A)=0,45, P(B)=0,35 và P(A∩B)=0,15. Tính xác suất không A cũng không B.

1. 1 P(A∪B)=0,45+0,35−0,15=0,65.
2. 2 Biến cố không A cũng không B là biến cố đối của A∪B.
3. 3 Xác suất cần tìm là 1−0,65=0,35.

Đáp án: Xác suất bằng 0,35.

Tự kiểm: Hai biến cố “ít nhất một” và “không biến cố nào” có tổng xác suất 0,65+0,35=1.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Luôn viết P(A∪B)=P(A)+P(B) dù hai biến cố có thể đồng thời xảy ra.
• Sai lầm cần tránh: Trừ P(A∪B) thay vì trừ P(A∩B).
• Sai lầm cần tránh: Gọi hai biến cố xung khắc chỉ vì xác suất giao nhỏ nhưng khác 0.
• Sai lầm cần tránh: Chấp nhận một kết quả xác suất lớn hơn 1 hoặc âm.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm “ít nhất một” với “đúng một”.