Toán lớp 11: Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Mục tiêu bài học

• Vận dụng được công thức nhân cho hai biến cố độc lập khi có đủ giả thiết.
• Kiểm tra được tính độc lập từ các xác suất đã biết trong trường hợp đơn giản.
• Sử dụng được sơ đồ cây cho hai giai đoạn độc lập.
• Phân tích được mô hình có hoàn lại, không hoàn lại để tránh giả định độc lập sai.

Kiến thức cần nhớ

• Nếu A và B độc lập thì xác suất giao bằng tích P(A∩B)=P(A)P(B). Công thức không được dùng cho hai biến cố bất kì.
• Trong mô hình hữu hạn, có thể kiểm tra độc lập bằng cách so sánh P(A∩B) với P(A)P(B); nếu khác nhau thì chắc chắn không độc lập.
• Khi A,B độc lập, các cặp A với biến cố đối của B, biến cố đối của A với B và hai biến cố đối cũng độc lập, nên có thể tính “đúng một” hoặc “không biến cố nào”.
• Xác suất ít nhất một trong hai biến cố độc lập thường tính gọn bằng 1−P(Ā)P(B̄).
• Sơ đồ cây cho hai phép thử độc lập có xác suất nhánh ở bước sau không đổi theo kết quả bước trước; xác suất một đường đi bằng tích xác suất các nhánh.
• Lấy mẫu không hoàn lại thường làm thay đổi thành phần còn lại và không độc lập; không được dùng tích hai xác suất ban đầu.

Khởi động và dự đoán

• Nếu hai động cơ hoạt động độc lập, xác suất cả hai cùng chạy tốt được tính bằng tích; điều kiện độc lập là phần không được bỏ quên.

Thuật ngữ và kí hiệu

công thức nhân xác suất hai biến cố độc lập kiểm tra độc lập sơ đồ cây ít nhất một biến cố đối

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
P(A∩B)=P(A)·P(B)	A và B độc lập	Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.
P(Ā∩B̄)=(1−P(A))(1−P(B))	A và B độc lập	Xác suất không biến cố nào xảy ra.
P(A∪B)=1−(1−P(A))(1−P(B))	A và B độc lập	Xác suất ít nhất một biến cố xảy ra.
P(đúng một)=P(A)(1−P(B))+(1−P(A))P(B)	A và B độc lập	Xác suất đúng một trong hai biến cố xảy ra.
P(nhánh 1 rồi nhánh 2)=p₁·p₂	Hai bước độc lập và p₂ không đổi theo kết quả bước đầu	Nhân xác suất dọc một đường đi của sơ đồ cây độc lập.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Biến cố độc lập. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Công thức cộng xác suất và sơ đồ cây. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu A,B xung khắc và đều có xác suất dương thì P(A∩B)=0 khác P(A)P(B)>0, nên không độc lập.
• Biến cố có xác suất 0 hoặc 1 tạo các trường hợp biên; tiêu chuẩn tích vẫn cần dùng chính xác thay vì chỉ dựa vào trực giác.
• Trong phép thử có hoàn lại và trộn đều, hai lần rút có thể độc lập; không hoàn lại thì xác suất bước sau thay đổi.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hộp có 2 bi đỏ và 1 bi xanh. Rút hai bi không hoàn lại: xác suất cả hai đỏ là (2/3)(1/2)=1/3, không phải (2/3)²=4/9.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Độ tin cậy của hai bộ phận hoạt động độc lập, hai phép đo độc lập hoặc khả năng ít nhất một hệ thống dự phòng thành công dùng công thức nhân và biến cố đối.

Minh họa trực quan

Cây xác suất của hai phép thử độc lập — Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nhân xác suất dọc một nhánh; chỉ dùng tích P(A)P(B) khi hai biến cố độc lập.

Bắt đầu

1. A P(A)
   1. B
      P(B)
      A∩B
   2. B̄
      1−P(B)
      A∩B̄
2. Ā 1−P(A)
   1. B
      P(B)
      Ā∩B
   2. B̄
      1−P(B)
      Ā∩B̄

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tung một đồng xu cân đối và gieo một xúc xắc cân đối độc lập. Tính xác suất xu ngửa và xúc xắc ra số chẵn.

1. 1 P(xu ngửa)=1/2.
2. 2 P(xúc xắc chẵn)=3/6=1/2.
3. 3 Hai phép thử độc lập nên xác suất giao là (1/2)(1/2)=1/4.

Đáp án: Xác suất bằng 1/4.

Tự kiểm: Không gian mẫu có 12 cặp đồng khả năng và 3 cặp thuận lợi, cho 3/12=1/4.

Ví dụ 2

Hai máy hoạt động độc lập với xác suất chạy tốt lần lượt là 0,9 và 0,8. Tính xác suất cả hai cùng chạy tốt.

1. 1 Gọi A,B là hai biến cố máy thứ nhất, thứ hai chạy tốt.
2. 2 Theo giả thiết A,B độc lập.
3. 3 P(A∩B)=0,9·0,8=0,72.

Đáp án: Xác suất cả hai chạy tốt là 0,72.

Tự kiểm: 0,72 không vượt xác suất nhỏ hơn là 0,8, phù hợp giới hạn của giao.

Ví dụ 3

Với hai máy ở ví dụ trên, tính xác suất ít nhất một máy chạy tốt.

1. 1 Xác suất máy thứ nhất hỏng là 0,1; máy thứ hai hỏng là 0,2.
2. 2 Do độc lập, xác suất cả hai cùng hỏng là 0,1·0,2=0,02.
3. 3 Xác suất ít nhất một máy tốt là 1−0,02=0,98.

Đáp án: Xác suất bằng 0,98.

Tự kiểm: Cộng các trường hợp đúng một hoặc cả hai tốt: 0,18+0,08+0,72=0,98.

Ví dụ 4

Cho P(A)=0,5, P(B)=0,4 và P(A∩B)=0,2. Kiểm tra A,B có độc lập không.

1. 1 Tính tích P(A)P(B)=0,5·0,4=0,2.
2. 2 Giá trị này bằng P(A∩B) đã cho.
3. 3 Theo tiêu chuẩn xác suất, A và B độc lập.

Đáp án: A và B độc lập.

Tự kiểm: Khi đó công thức cộng cho P(A∪B)=0,5+0,4−0,2=0,7, nằm trong [0;1].

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Dùng P(A∩B)=P(A)P(B) mà không có độc lập.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng hai biến cố xung khắc có xác suất dương là độc lập.
• Sai lầm cần tránh: Coi hai lần rút không hoàn lại là độc lập.
• Sai lầm cần tránh: Tính xác suất ít nhất một bằng P(A)P(B).
• Sai lầm cần tránh: Cộng xác suất các đường đi trên cây dù các đường đi không xung khắc hoặc bỏ sót đường.