Toán lớp 11: Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Mục tiêu bài học

• Lập được thương sai phân và tính đạo hàm của hàm đơn giản bằng định nghĩa.
• Diễn giải được đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời và vận tốc tức thời.
• Nêu được ý nghĩa hình học của đạo hàm và lập phương trình tiếp tuyến.
• Phân biệt được liên tục và khả vi qua ví dụ hoặc phản ví dụ phù hợp.

Kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm của f tại x₀ là giới hạn hữu hạn của thương sai phân khi x tiến đến x₀ hoặc khi số gia h tiến đến 0. Nếu giới hạn không tồn tại hoặc vô hạn thì f không có đạo hàm hữu hạn tại x₀.
• Để tính bằng định nghĩa, cần lập hiệu f(x)−f(x₀), chia cho x−x₀ khi x khác x₀, rút gọn rồi mới lấy giới hạn.
• Hàm có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó; chiều đảo không đúng, vì hàm liên tục có thể có góc nhọn hoặc điểm gấp.
• Đạo hàm f′(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M(x₀;f(x₀)); phương trình tiếp tuyến phải đi qua chính M.
• Nếu s=s(t) là tọa độ theo thời gian thì s′(t) là vận tốc tức thời. Dấu của vận tốc biểu thị chiều chuyển động trên trục đã chọn.
• Đạo hàm tại điểm trong một khoảng cần giới hạn hai phía; hai đạo hàm một phía khác nhau thì đạo hàm tại điểm đó không tồn tại.

Khởi động và dự đoán

• Vận tốc tức thời không phải quãng đường chia cho toàn bộ thời gian; nó là giới hạn của vận tốc trung bình trên khoảng thời gian ngày càng nhỏ.

Thuật ngữ và kí hiệu

đạo hàm tại một điểm thương sai phân số gia hệ số góc tiếp tuyến tiếp tuyến vận tốc tức thời đạo hàm một phía

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
f′(x₀)=lim[x→x₀] (f(x)−f(x₀))/(x−x₀)	f xác định lân cận x₀ và giới hạn hữu hạn tồn tại	Định nghĩa đạo hàm tại x₀.
f′(x₀)=lim[h→0] (f(x₀+h)−f(x₀))/h	f xác định gần x₀ và giới hạn hữu hạn tồn tại	Dạng số gia của định nghĩa đạo hàm.
y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀)	f có đạo hàm tại x₀ và tiếp tuyến được xét tại M(x₀;f(x₀))	Phương trình tiếp tuyến của đồ thị.
v(t)=s′(t)	s(t) là tọa độ chuyển động khả vi theo thời gian	Vận tốc tức thời.
f có đạo hàm tại x₀ ⇒ f liên tục tại x₀	x₀ là điểm trong miền đang xét	Quan hệ một chiều giữa khả vi và liên tục.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Giới hạn của hàm số. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Hệ số góc và phương trình đường thẳng. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Hàm |x| liên tục tại 0 nhưng đạo hàm trái bằng −1, đạo hàm phải bằng 1 nên không có đạo hàm tại 0.
• Nếu f′(x₀)=0, tiếp tuyến nằm ngang chứ không phải không tồn tại.
• Đạo hàm được định nghĩa ở điểm trong khoảng bằng giới hạn hai phía; tại đầu mút cần một quy ước một phía riêng, không tự trộn vào định nghĩa này.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hàm f(x)=|x| là phản ví dụ cho mệnh đề “liên tục tại x₀ thì có đạo hàm tại x₀”: tại 0 hàm liên tục nhưng hai thương sai phân một phía cho −1 và 1.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Đạo hàm mô tả tốc độ thay đổi tức thời, hệ số góc đường ray tại một vị trí hoặc vận tốc của vật tại một thời điểm.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Hệ số góc tiếp tuyến tại x=1 là giới hạn của hệ số góc các cát tuyến.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Dãy	x	y
f(x)=x²	-1	1
f(x)=x²	-0.9	0.81
f(x)=x²	-0.8	0.64
f(x)=x²	-0.7	0.49
f(x)=x²	-0.6	0.36
f(x)=x²	-0.5	0.25
f(x)=x²	-0.4	0.16
f(x)=x²	-0.3	0.09
f(x)=x²	-0.2	0.04
f(x)=x²	-0.1	0.01
f(x)=x²	0	0
f(x)=x²	0.1	0.01
f(x)=x²	0.2	0.04
f(x)=x²	0.3	0.09
f(x)=x²	0.4	0.16
f(x)=x²	0.5	0.25
f(x)=x²	0.6	0.36
f(x)=x²	0.7	0.49
f(x)=x²	0.8	0.64
f(x)=x²	0.9	0.81
f(x)=x²	1	1
f(x)=x²	1.1	1.21
f(x)=x²	1.2	1.44
f(x)=x²	1.3	1.69
f(x)=x²	1.4	1.96
f(x)=x²	1.5	2.25
f(x)=x²	1.6	2.56
f(x)=x²	1.7	2.89
f(x)=x²	1.8	3.24
f(x)=x²	1.9	3.61
f(x)=x²	2	4
Tiếp tuyến y=2x−1	0	-1
Tiếp tuyến y=2x−1	0.2	-0.6
Tiếp tuyến y=2x−1	0.4	-0.2
Tiếp tuyến y=2x−1	0.6	0.2
Tiếp tuyến y=2x−1	0.8	0.6
Tiếp tuyến y=2x−1	1	1
Tiếp tuyến y=2x−1	1.2	1.4
Tiếp tuyến y=2x−1	1.4	1.8
Tiếp tuyến y=2x−1	1.6	2.2
Tiếp tuyến y=2x−1	1.8	2.6
Tiếp tuyến y=2x−1	2	3

f(x)=x² Tiếp tuyến y=2x−1

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của f(x)=x² tại x₀=3.

1. 1 Lập thương sai phân: [f(3+h)−f(3)]/h=[(3+h)²−9]/h.
2. 2 Khai triển và rút gọn với h≠0: (6h+h²)/h=6+h.
3. 3 Lấy giới hạn khi h→0 được f′(3)=6.

Đáp án: f′(3)=6.

Tự kiểm: Hệ số góc 6 cũng khớp với công thức đạo hàm 2x tại x=3, dùng như kiểm tra chứ không thay bước định nghĩa.

Ví dụ 2

Xét sự tồn tại đạo hàm của f(x)=|x| tại x₀=0.

1. 1 Với h>0, [f(h)−f(0)]/h=|h|/h=1.
2. 2 Với h<0, thương bằng |h|/h=−1.
3. 3 Hai giới hạn một phía khác nhau nên giới hạn hai phía không tồn tại.

Đáp án: f không có đạo hàm tại 0.

Tự kiểm: Đồ thị có một điểm gấp tại gốc tọa độ, phù hợp với hai hệ số góc một phía khác nhau.

Ví dụ 3

Viết phương trình tiếp tuyến của y=x² tại điểm có hoành độ x₀=2.

1. 1 Tung độ tiếp điểm là f(2)=4.
2. 2 Theo định nghĩa, [f(2+h)−f(2)]/h=[(2+h)²−4]/h=4+h với h≠0, nên f′(2)=lim[h→0](4+h)=4.
3. 3 Tiếp tuyến qua (2;4) có phương trình y−4=4(x−2), hay y=4x−4.

Đáp án: Phương trình tiếp tuyến là y=4x−4.

Tự kiểm: Thay x=2 được y=4, nên đường thẳng đi qua đúng tiếp điểm; hệ số góc là 4.

Ví dụ 4

Một chất điểm có tọa độ s(t)=t²+2t (m), t tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại t=3.

1. 1 Vận tốc trung bình từ 3 đến 3+h là [s(3+h)−s(3)]/h với h≠0.
2. 2 Rút gọn [(3+h)²+2(3+h)−15]/h=(8h+h²)/h=8+h.
3. 3 Lấy giới hạn khi h→0 được vận tốc tức thời v(3)=8 m/s.

Đáp án: Vận tốc tức thời tại 3 giây là 8 m/s.

Tự kiểm: Vận tốc trung bình từ 3 đến 3+h là [(3+h)²+2(3+h)−15]/h=8+h, tiến tới 8 khi h→0.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Thế h=0 trực tiếp vào thương sai phân và kết luận 0/0.
• Sai lầm cần tránh: Lập f(x+h)−f(x) nhưng quên chia cho h.
• Sai lầm cần tránh: Viết tiếp tuyến y=f′(x₀)(x−x₀), thiếu f(x₀).
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng hàm liên tục thì chắc chắn có đạo hàm.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm vận tốc tức thời với vận tốc trung bình trên một khoảng hữu hạn.