Toán lớp 11: Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Mục tiêu bài học

• Tính được đạo hàm của hàm hằng, lũy thừa, căn đơn giản.
• Vận dụng đúng quy tắc tổng, hiệu, tích và thương với điều kiện mẫu khác 0.
• Vận dụng đúng quy tắc hàm hợp và không bỏ thừa số đạo hàm bên trong.
• Tính được đạo hàm của các hàm lượng giác, mũ và lôgarit cơ bản trên miền phù hợp.

Kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm có tính tuyến tính đối với tổng, hiệu và hằng số nhân; đạo hàm của hằng số bằng 0.
• Đạo hàm tích là u′v+uv′, còn đạo hàm thương là (u′v−uv′)/v² tại những điểm v khác 0.
• Quy tắc hàm hợp nhân đạo hàm của hàm ngoài theo biến trung gian với đạo hàm của hàm trong; bỏ thừa số hàm trong là lỗi hệ thống.
• Bảng đạo hàm của lũy thừa, căn và nghịch đảo phải đi kèm miền xác định; chẳng hạn (√x)′ chỉ có công thức hữu hạn với x>0.
• Các đạo hàm lượng giác gồm (sin x)′=cos x, (cos x)′=−sin x, cùng các công thức của tan và cot trên miền xác định.
• Đạo hàm hàm mũ và lôgarit phụ thuộc cơ số: (a^x)′=a^x ln a và (log_a x)′=1/(x ln a). Khi đối số là hàm u, phải nhân thêm u′ và giữ điều kiện u>0 cho logarit.

Khởi động và dự đoán

• Đạo hàm của một tích không phải tích hai đạo hàm; mỗi thừa số lần lượt thay đổi trong quy tắc u′v+uv′.

Thuật ngữ và kí hiệu

quy tắc tổng–hiệu quy tắc tích quy tắc thương hàm hợp quy tắc dây chuyền bảng đạo hàm miền xác định

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
(u±v)′=u′±v′; (ku)′=ku′	u,v khả vi tại điểm xét; k là hằng số	Đạo hàm tổng, hiệu và hằng số nhân.
(uv)′=u′v+uv′	u,v khả vi tại điểm xét	Quy tắc đạo hàm của tích.
(u/v)′=(u′v−uv′)/v²	u,v khả vi và v≠0 tại điểm xét	Quy tắc đạo hàm của thương.
(f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)	g khả vi tại x và f khả vi tại g(x)	Quy tắc dây chuyền cho hàm hợp.
(x^n)′=n x^(n−1)	n là số nguyên dương; x∈ℝ	Đạo hàm lũy thừa nguyên dương.
(x^α)′=αx^(α−1)	α∈ℝ và x>0	Đạo hàm lũy thừa số mũ thực trên miền dương.
(sin u)′=u′cos u; (cos u)′=−u′sin u	u khả vi	Đạo hàm hàm hợp sin và cos.
(tan u)′=u′/cos²u; (cot u)′=−u′/sin²u	u khả vi; cos u≠0 cho tan, sin u≠0 cho cot	Đạo hàm hàm hợp tan và cot.
(a^u)′=u′a^u ln a	a>0, a≠1; u khả vi	Đạo hàm hàm mũ hợp.
(log_a u)′=u′/(u ln a)	a>0, a≠1; u>0 và u khả vi	Đạo hàm hàm lôgarit hợp.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Định nghĩa đạo hàm. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Hàm hợp, lượng giác, mũ và lôgarit. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Công thức (√x)′=1/(2√x) chỉ dùng với x>0; tại x=0 không có đạo hàm hữu hạn hai phía.
• Một biểu thức đạo hàm sau rút gọn không được mở rộng miền vượt miền của hàm gốc.
• Khi a=e, ln a=1 nên (e^x)′=e^x là trường hợp riêng, không phải công thức cho mọi cơ số.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Với u=x và v=x², công thức sai u′v′ cho 2x, trong khi uv=x³ có đạo hàm đúng 3x².

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Quy tắc đạo hàm giúp tính hệ số góc, vận tốc và tốc độ thay đổi của các mô hình đa thức, lượng giác, mũ và lôgarit.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Các quy tắc tính đạo hàm

Phân biệt đồ thị hàm ban đầu và đồ thị đạo hàm của nó.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Các quy tắc tính đạo hàm

Dãy	x	y
f(x)=x³	-2	-8
f(x)=x³	-1.8	-5.832
f(x)=x³	-1.6	-4.096
f(x)=x³	-1.4	-2.744
f(x)=x³	-1.2	-1.728
f(x)=x³	-1	-1
f(x)=x³	-0.8	-0.512
f(x)=x³	-0.6	-0.216
f(x)=x³	-0.4	-0.064
f(x)=x³	-0.2	-0.008
f(x)=x³	0	0
f(x)=x³	0.2	0.008
f(x)=x³	0.4	0.064
f(x)=x³	0.6	0.216
f(x)=x³	0.8	0.512
f(x)=x³	1	1
f(x)=x³	1.2	1.728
f(x)=x³	1.4	2.744
f(x)=x³	1.6	4.096
f(x)=x³	1.8	5.832
f(x)=x³	2	8
f′(x)=3x²	-2	12
f′(x)=3x²	-1.8	9.72
f′(x)=3x²	-1.6	7.68
f′(x)=3x²	-1.4	5.88
f′(x)=3x²	-1.2	4.32
f′(x)=3x²	-1	3
f′(x)=3x²	-0.8	1.92
f′(x)=3x²	-0.6	1.08
f′(x)=3x²	-0.4	0.48
f′(x)=3x²	-0.2	0.12
f′(x)=3x²	0	0
f′(x)=3x²	0.2	0.12
f′(x)=3x²	0.4	0.48
f′(x)=3x²	0.6	1.08
f′(x)=3x²	0.8	1.92
f′(x)=3x²	1	3
f′(x)=3x²	1.2	4.32
f′(x)=3x²	1.4	5.88
f′(x)=3x²	1.6	7.68
f′(x)=3x²	1.8	9.72
f′(x)=3x²	2	12

f(x)=x³ f′(x)=3x²

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tính đạo hàm y=3x⁴−2x²+7.

1. 1 Đạo hàm từng hạng: (3x⁴)′=12x³ và (−2x²)′=−4x.
2. 2 Đạo hàm của hằng số 7 bằng 0.
3. 3 Cộng các kết quả được y′=12x³−4x.

Đáp án: y′=12x³−4x.

Tự kiểm: Tại x=0, hệ số góc bằng 0; biểu thức đạo hàm cũng cho 0.

Ví dụ 2

Tính đạo hàm y=(x²+1)e^x.

1. 1 Đặt u=x²+1, v=e^x; khi đó u′=2x, v′=e^x.
2. 2 Theo quy tắc tích, y′=2x e^x+(x²+1)e^x.
3. 3 Đặt e^x ra ngoài: y′=e^x(x²+2x+1)=e^x(x+1)².

Đáp án: y′=e^x(x+1)².

Tự kiểm: Khai triển lại e^x(x+1)² cho đúng tổng hai phần u′v và uv′.

Ví dụ 3

Tính đạo hàm y=(2x−1)/(x+1).

1. 1 Miền xác định là x≠−1.
2. 2 Áp dụng quy tắc thương: y′=[2(x+1)−(2x−1)·1]/(x+1)².
3. 3 Rút gọn tử 2x+2−2x+1=3, nên y′=3/(x+1)².

Đáp án: y′=3/(x+1)² với x≠−1.

Tự kiểm: Viết y=2−3/(x+1) rồi đạo hàm cũng cho 3/(x+1)²; điểm x=−1 vẫn bị loại.

Ví dụ 4

Tính đạo hàm y=ln(x²+1)+sin(3x−π/4).

1. 1 Vì x²+1>0 với mọi x, hàm logarit xác định trên ℝ.
2. 2 Đạo hàm ln(x²+1) là 2x/(x²+1).
3. 3 Đạo hàm sin(3x−π/4) là 3cos(3x−π/4), nên cộng hai phần.

Đáp án: y′=2x/(x²+1)+3cos(3x−π/4).

Tự kiểm: Hai thừa số dây chuyền 2x và 3 đều xuất hiện; mẫu x²+1 không bao giờ bằng 0.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Viết (uv)′=u′v′.
• Sai lầm cần tránh: Quên bình phương mẫu trong quy tắc thương hoặc đảo thứ tự hai tích ở tử.
• Sai lầm cần tránh: Viết (1/v)′=v′/v², thiếu dấu âm.
• Sai lầm cần tránh: Viết (cos x)′=sin x, thiếu dấu âm.
• Sai lầm cần tránh: Lấy đạo hàm hàm hợp nhưng bỏ u′.
• Sai lầm cần tránh: Viết (a^x)′=a^x với mọi a, thiếu ln a.