Toán lớp 11: Bài 3: Phép đối xứng trục

Mục tiêu bài học

Giải thích và vận dụng đối xứng trục trong một tình huống mới.
Giải thích và vận dụng đối xứng qua trục tọa độ trong một tình huống mới.
Giải thích và vận dụng trục đối xứng của hình trong một tình huống mới.
Giải thích và vận dụng trục là đường trung trực trong một tình huống mới.

Kiến thức cần nhớ

đối xứng trục: M và M′ đối xứng qua d khi d là đường trung trực của MM′.
đối xứng qua trục tọa độ: Qua Ox: (x;y)→(x;−y); qua Oy: (x;y)→(−x;y).
trục đối xứng của hình: Trục đối xứng biến hình thành chính nó.
trục là đường trung trực: Nếu M không thuộc d thì d vuông góc MM′ tại trung điểm của MM′.

Khởi động và dự đoán

Quan sát tình huống, dự đoán đại lượng bất biến rồi ghi lại lý do.

Thuật ngữ và kí hiệu

đối xứng trục đối xứng qua trục tọa độ trục đối xứng của hình trục là đường trung trực

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
M và M′ đối xứng qua d khi d là đường trung trực của MM′.	Kiểm tra vuông góc và hai khoảng cách đến d.	Dựng ảnh một điểm bằng đường vuông góc với trục.
Qua Ox: (x;y)→(x;−y); qua Oy: (x;y)→(−x;y).	Tọa độ dọc trục giữ nguyên.	So sánh ảnh qua Ox và Oy của một tam giác.
Trục đối xứng biến hình thành chính nó.	Đối chiếu toàn bộ hình sau phép đối xứng.	Xác định trục đối xứng của một họa tiết và giải thích.
Nếu M không thuộc d thì d vuông góc MM′ tại trung điểm của MM′.	Kiểm tra đồng thời vuông góc và hai nửa đoạn bằng nhau.	Dựng đường trung trực để kiểm tra một cặp điểm có đối xứng qua d hay không.

Tự kiểm tra kiến thức nền

Đọc đúng kí hiệu, đơn vị và dữ kiện đã cho.
Phân biệt định nghĩa với tính chất suy ra.
Nêu điều kiện trước khi thay số hoặc kết luận.
Tự kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác khi có thể.

Khung lập luận và chứng minh

Ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu rõ ràng.
Chọn định nghĩa/tính chất đúng và nêu điều kiện áp dụng.
Tách từng bước suy luận, không suy từ hình vẽ không tỉ lệ.
Kiểm tra kết quả bằng dữ kiện độc lập hoặc trường hợp biên.

Trường hợp biên cần nhớ

Điểm nằm trên trục là điểm bất động.
Không được suy trục đối xứng chỉ từ hình vẽ không tỉ lệ.

Phản ví dụ chống học máy móc

Phản ví dụ/biên cần kiểm: Điểm nằm trên trục là điểm bất động.
Phản ví dụ/biên cần kiểm: Không được suy trục đối xứng chỉ từ hình vẽ không tỉ lệ.

Ứng dụng và mô hình thực tế

Dựng ảnh một điểm bằng đường vuông góc với trục.
So sánh ảnh qua Ox và Oy của một tam giác.
Xác định trục đối xứng của một họa tiết và giải thích.
Dựng đường trung trực để kiểm tra một cặp điểm có đối xứng qua d hay không.

Minh họa trực quan

Sơ đồ dữ liệu phép biến hình

Đọc điểm gốc, điểm ảnh, tham số phép biến hình và invariant ghi dưới hình.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1 — đối xứng trục

Nếu M thuộc trục d thì ảnh M′ là điểm nào?

1 Dữ kiện cần dùng: M và M′ đối xứng qua d khi d là đường trung trực của MM′.
2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới M.
3 Kết luận: M. Tự kiểm: Kiểm tra vuông góc và hai khoảng cách đến d.

Đáp án: M

Tự kiểm: Kiểm tra vuông góc và hai khoảng cách đến d.

Ví dụ 2 — đối xứng qua trục tọa độ

Ảnh của (2;−3) qua Ox có tung độ bao nhiêu?

1 Dữ kiện cần dùng: Qua Ox: (x;y)→(x;−y); qua Oy: (x;y)→(−x;y).
2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới 3.
3 Kết luận: 3. Tự kiểm: Tọa độ dọc trục giữ nguyên.

Đáp án: 3

Tự kiểm: Tọa độ dọc trục giữ nguyên.

Ví dụ 3 — trục đối xứng của hình

Hình chữ nhật không phải hình vuông có bao nhiêu trục đối xứng?

1 Dữ kiện cần dùng: Trục đối xứng biến hình thành chính nó.
2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới 2.
3 Kết luận: 2. Tự kiểm: Đối chiếu toàn bộ hình sau phép đối xứng.

Đáp án: 2

Tự kiểm: Đối chiếu toàn bộ hình sau phép đối xứng.

Ví dụ 4 — trục là đường trung trực

Nếu MM′=8 cm thì khoảng cách từ trung điểm MM′ đến M bằng bao nhiêu?

1 Dữ kiện cần dùng: Nếu M không thuộc d thì d vuông góc MM′ tại trung điểm của MM′.
2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới 4 cm.
3 Kết luận: 4 cm. Tự kiểm: Kiểm tra đồng thời vuông góc và hai nửa đoạn bằng nhau.

Đáp án: 4 cm

Tự kiểm: Kiểm tra đồng thời vuông góc và hai nửa đoạn bằng nhau.

Lỗi sai thường gặp

Sai: d song song MM′. Cách sửa: Kiểm tra vuông góc và hai khoảng cách đến d.
Sai: M và M′ cùng phía d. Cách sửa: Kiểm tra vuông góc và hai khoảng cách đến d.
Sai: d đi qua M nhưng không qua M′. Cách sửa: Kiểm tra vuông góc và hai khoảng cách đến d.
Sai: Qua Ox đổi dấu x. Cách sửa: Tọa độ dọc trục giữ nguyên.
Sai: Qua Oy đổi dấu y. Cách sửa: Tọa độ dọc trục giữ nguyên.
Sai: Cả hai phép đều đổi dấu hai tọa độ. Cách sửa: Tọa độ dọc trục giữ nguyên.
Sai: Mọi đường qua tâm đều là trục. Cách sửa: Đối chiếu toàn bộ hình sau phép đối xứng.
Sai: Trục không cần chia hình tương ứng. Cách sửa: Đối chiếu toàn bộ hình sau phép đối xứng.

Cấp 1

Cấp 2

Cấp 3