Toán lớp 11: Bài 4: Phép quay và phép đối xứng tâm

Mục tiêu bài học

• Giải thích và vận dụng phép quay trong một tình huống mới.
• Giải thích và vận dụng quay quanh gốc tọa độ trong một tình huống mới.
• Giải thích và vận dụng đối xứng tâm trong một tình huống mới.
• Giải thích và vận dụng hợp các phép quay cùng tâm trong một tình huống mới.

Kiến thức cần nhớ

• phép quay: Quay tâm O góc α giữ OM=OM′ và góc lượng giác (OM,OM′)=α.
• quay quanh gốc tọa độ: Quay 90° ngược chiều kim đồng hồ: (x;y)→(−y;x).
• đối xứng tâm: O là trung điểm MM′; tương đương quay tâm O góc 180°.
• hợp các phép quay cùng tâm: Quay cùng tâm theo α rồi β tương đương quay theo α+β.

Khởi động và dự đoán

• Quan sát tình huống, dự đoán đại lượng bất biến rồi ghi lại lý do.

Thuật ngữ và kí hiệu

phép quay quay quanh gốc tọa độ đối xứng tâm hợp các phép quay cùng tâm

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
Quay tâm O góc α giữ OM=OM′ và góc lượng giác (OM,OM′)=α.	Kiểm tra tâm, bán kính và chiều góc.	Dựng ảnh điểm qua phép quay có hướng.
Quay 90° ngược chiều kim đồng hồ: (x;y)→(−y;x).	Thử điểm (1;0) phải thành (0;1).	Tính ảnh các đỉnh hình vuông qua phép quay.
O là trung điểm MM′; tương đương quay tâm O góc 180°.	Kiểm tra vectơ OM′ = −OM.	Chứng minh hai đoạn nối các cặp điểm đối xứng cùng đi qua O.
Quay cùng tâm theo α rồi β tương đương quay theo α+β.	Cộng góc có dấu và rút gọn theo 360°.	Phân tích chuỗi quay của một cánh quạt ba cánh.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Đọc đúng kí hiệu, đơn vị và dữ kiện đã cho.
• Phân biệt định nghĩa với tính chất suy ra.
• Nêu điều kiện trước khi thay số hoặc kết luận.
• Tự kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác khi có thể.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu rõ ràng.
• Chọn định nghĩa/tính chất đúng và nêu điều kiện áp dụng.
• Tách từng bước suy luận, không suy từ hình vẽ không tỉ lệ.
• Kiểm tra kết quả bằng dữ kiện độc lập hoặc trường hợp biên.

Trường hợp biên cần nhớ

• Góc quay có hướng; đổi dấu góc đổi chiều.
• Đối xứng tâm O là quay tâm O góc 180°.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Phản ví dụ/biên cần kiểm: Góc quay có hướng; đổi dấu góc đổi chiều.
• Phản ví dụ/biên cần kiểm: Đối xứng tâm O là quay tâm O góc 180°.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Dựng ảnh điểm qua phép quay có hướng.
• Tính ảnh các đỉnh hình vuông qua phép quay.
• Chứng minh hai đoạn nối các cặp điểm đối xứng cùng đi qua O.
• Phân tích chuỗi quay của một cánh quạt ba cánh.

Minh họa trực quan

Sơ đồ dữ liệu phép biến hình

Đọc điểm gốc, điểm ảnh, tham số phép biến hình và invariant ghi dưới hình.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1 — phép quay

Quay tâm O góc 90° giữ khoảng cách nào?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Quay tâm O góc α giữ OM=OM′ và góc lượng giác (OM,OM′)=α.
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới OM=OM′.
3. 3 Kết luận: OM=OM′. Tự kiểm: Kiểm tra tâm, bán kính và chiều góc.

Đáp án: OM=OM′

Tự kiểm: Kiểm tra tâm, bán kính và chiều góc.

Ví dụ 2 — quay quanh gốc tọa độ

Ảnh của (2;1) qua quay 90° ngược chiều có hoành độ bao nhiêu?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Quay 90° ngược chiều kim đồng hồ: (x;y)→(−y;x).
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới −1.
3. 3 Kết luận: −1. Tự kiểm: Thử điểm (1;0) phải thành (0;1).

Đáp án: −1

Tự kiểm: Thử điểm (1;0) phải thành (0;1).

Ví dụ 3 — đối xứng tâm

Ảnh của (3;−2) qua tâm O(0;0) có tung độ bao nhiêu?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: O là trung điểm MM′; tương đương quay tâm O góc 180°.
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới 2.
3. 3 Kết luận: 2. Tự kiểm: Kiểm tra vectơ OM′ = −OM.

Đáp án: 2

Tự kiểm: Kiểm tra vectơ OM′ = −OM.

Ví dụ 4 — hợp các phép quay cùng tâm

Quay 120° rồi 240° cùng tâm tương đương phép gì?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Quay cùng tâm theo α rồi β tương đương quay theo α+β.
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới đồng nhất.
3. 3 Kết luận: đồng nhất. Tự kiểm: Cộng góc có dấu và rút gọn theo 360°.

Đáp án: đồng nhất

Tự kiểm: Cộng góc có dấu và rút gọn theo 360°.

Lỗi sai thường gặp

• Sai: OM=OM′ nhưng góc lượng giác (OM,OM′) khác α. Cách sửa: Kiểm tra tâm, bán kính và chiều góc.
• Sai: Tâm quay là M. Cách sửa: Kiểm tra tâm, bán kính và chiều góc.
• Sai: Góc quay không có hướng. Cách sửa: Kiểm tra tâm, bán kính và chiều góc.
• Sai: (x;y)→(y;−x). Cách sửa: Thử điểm (1;0) phải thành (0;1).
• Sai: (x;y)→(−x;−y). Cách sửa: Thử điểm (1;0) phải thành (0;1).
• Sai: (x;y)→(y;x). Cách sửa: Thử điểm (1;0) phải thành (0;1).
• Sai: O nằm tùy ý trên MM′. Cách sửa: Kiểm tra vectơ OM′ = −OM.
• Sai: OM′ gấp đôi OM. Cách sửa: Kiểm tra vectơ OM′ = −OM.