Toán lớp 11: Bài 6: Phép vị tự

Mục tiêu bài học

• Giải thích và vận dụng phép vị tự trong một tình huống mới.
• Giải thích và vận dụng tọa độ vị tự trong một tình huống mới.
• Giải thích và vận dụng tỉ lệ độ dài và diện tích trong một tình huống mới.
• Giải thích và vận dụng điểm bất động trong một tình huống mới.

Kiến thức cần nhớ

• phép vị tự: Vị tự tâm O tỉ số k≠0 biến M thành M′ sao cho vectơ OM′=k·vectơ OM.
• tọa độ vị tự: Tâm O(0;0), tỉ số k: (x;y)→(kx;ky).
• tỉ lệ độ dài và diện tích: Độ dài nhân |k|, diện tích nhân k².
• điểm bất động: Nếu k≠1 thì tâm O là điểm bất động duy nhất.

Khởi động và dự đoán

• Quan sát tình huống, dự đoán đại lượng bất biến rồi ghi lại lý do.

Thuật ngữ và kí hiệu

phép vị tự tọa độ vị tự tỉ lệ độ dài và diện tích điểm bất động

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
Vị tự tâm O tỉ số k≠0 biến M thành M′ sao cho vectơ OM′=k·vectơ OM.	Kiểm tra tâm, hướng và độ lớn vectơ.	Dựng ảnh tam giác qua vị tự tỉ số âm.
Tâm O(0;0), tỉ số k: (x;y)→(kx;ky).	Tọa độ ảnh phải thỏa vectơ OM′=kOM.	Tính ảnh đường tròn bằng tọa độ.
Độ dài nhân |k|, diện tích nhân k².	Tách hệ số một chiều và hai chiều.	Tính tỉ lệ mô hình và diện tích bản phóng.
Nếu k≠1 thì tâm O là điểm bất động duy nhất.	Giải phương trình OM′=OM theo vectơ.	Lập luận số điểm bất động theo k.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Đọc đúng kí hiệu, đơn vị và dữ kiện đã cho.
• Phân biệt định nghĩa với tính chất suy ra.
• Nêu điều kiện trước khi thay số hoặc kết luận.
• Tự kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác khi có thể.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu rõ ràng.
• Chọn định nghĩa/tính chất đúng và nêu điều kiện áp dụng.
• Tách từng bước suy luận, không suy từ hình vẽ không tỉ lệ.
• Kiểm tra kết quả bằng dữ kiện độc lập hoặc trường hợp biên.

Trường hợp biên cần nhớ

• Tỉ số k khác 0; k âm đặt ảnh phía đối diện tâm.
• Vị tự bảo toàn góc nhưng chỉ bảo toàn độ dài khi |k|=1.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Phản ví dụ/biên cần kiểm: Tỉ số k khác 0; k âm đặt ảnh phía đối diện tâm.
• Phản ví dụ/biên cần kiểm: Vị tự bảo toàn góc nhưng chỉ bảo toàn độ dài khi |k|=1.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Dựng ảnh tam giác qua vị tự tỉ số âm.
• Tính ảnh đường tròn bằng tọa độ.
• Tính tỉ lệ mô hình và diện tích bản phóng.
• Lập luận số điểm bất động theo k.

Minh họa trực quan

Sơ đồ dữ liệu phép biến hình

Đọc điểm gốc, điểm ảnh, tham số phép biến hình và invariant ghi dưới hình.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1 — phép vị tự

Với k=2, OM=3 thì OM′ dài bao nhiêu?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Vị tự tâm O tỉ số k≠0 biến M thành M′ sao cho vectơ OM′=k·vectơ OM.
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới 6.
3. 3 Kết luận: 6. Tự kiểm: Kiểm tra tâm, hướng và độ lớn vectơ.

Đáp án: 6

Tự kiểm: Kiểm tra tâm, hướng và độ lớn vectơ.

Ví dụ 2 — tọa độ vị tự

Ảnh của (2;−1) qua vị tự tâm O tỉ số −3 có hoành độ bao nhiêu?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Tâm O(0;0), tỉ số k: (x;y)→(kx;ky).
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới −6.
3. 3 Kết luận: −6. Tự kiểm: Tọa độ ảnh phải thỏa vectơ OM′=kOM.

Đáp án: −6

Tự kiểm: Tọa độ ảnh phải thỏa vectơ OM′=kOM.

Ví dụ 3 — tỉ lệ độ dài và diện tích

Với |k|=2, diện tích ảnh gấp mấy lần?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Độ dài nhân |k|, diện tích nhân k².
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới 4.
3. 3 Kết luận: 4. Tự kiểm: Tách hệ số một chiều và hai chiều.

Đáp án: 4

Tự kiểm: Tách hệ số một chiều và hai chiều.

Ví dụ 4 — điểm bất động

Với k=3, điểm bất động là điểm nào?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Nếu k≠1 thì tâm O là điểm bất động duy nhất.
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới O.
3. 3 Kết luận: O. Tự kiểm: Giải phương trình OM′=OM theo vectơ.

Đáp án: O

Tự kiểm: Giải phương trình OM′=OM theo vectơ.

Lỗi sai thường gặp

• Sai: OM′=OM+k. Cách sửa: Kiểm tra tâm, hướng và độ lớn vectơ.
• Sai: k có thể bằng 0 trong định nghĩa. Cách sửa: Kiểm tra tâm, hướng và độ lớn vectơ.
• Sai: M′ luôn cùng phía O với M. Cách sửa: Kiểm tra tâm, hướng và độ lớn vectơ.
• Sai: (x+k;y+k). Cách sửa: Tọa độ ảnh phải thỏa vectơ OM′=kOM.
• Sai: (x/k;y/k) luôn đúng. Cách sửa: Tọa độ ảnh phải thỏa vectơ OM′=kOM.
• Sai: (kx;y). Cách sửa: Tọa độ ảnh phải thỏa vectơ OM′=kOM.
• Sai: Diện tích nhân k. Cách sửa: Tách hệ số một chiều và hai chiều.
• Sai: Độ dài nhân k². Cách sửa: Tách hệ số một chiều và hai chiều.