Toán lớp 12: Bài 7: Hệ trục tọa độ trong không gian

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được hệ trục Oxyz, tọa độ điểm và tọa độ vectơ theo cơ sở trực chuẩn đã chọn.
• Xác định được tọa độ vectơ từ hai đầu mút và tọa độ điểm từ quan hệ vectơ đơn giản.
• Tính được độ dài vectơ, khoảng cách hai điểm và các điểm chia cơ bản bằng tọa độ.
• Biểu diễn và diễn giải được điểm/vectơ trong một bối cảnh không gian có hệ trục, gốc và đơn vị rõ.

Kiến thức cần nhớ

• Hệ Oxyz trực chuẩn dùng ba trục đôi một vuông góc và cùng đơn vị khi áp công thức khoảng cách chuẩn.
• Tọa độ điểm mô tả vị trí; tọa độ vectơ mô tả độ dời, không được trộn vai trò.
• Vectơ AB lấy B trừ A theo từng thành phần.
• Bài thực tiễn phải nêu gốc, hướng trục và đơn vị.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Cho A(1,−2,3), B(4,0,−1). Tính AB⃗. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

A(x;y;z): điểm u⃗=(a;b;c): vectơ Oxyz: hệ trực chuẩn nếu không nói khác

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
AB⃗=(x_B−x_A; y_B−y_A; z_B−z_A)	A,B có tọa độ trong cùng hệ Oxyz — ℝ³ — A=B cho vectơ-không.	Tính tọa độ độ dời từ A đến B.
AB=√[(x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²+(z_B−z_A)²]	hệ trục trực chuẩn, cùng thang đơn vị — A,B∈ℝ³ — AB=0 khi và chỉ khi A=B.	Khoảng cách không âm giữa hai điểm.
M=((x_A+x_B)/2;(y_A+y_B)/2;(z_A+z_B)/2)	M là trung điểm AB — A,B∈ℝ³ — Công thức vẫn đúng khi A=B.	Tọa độ trung điểm lấy trung bình từng thành phần.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Muốn khôi phục B từ A và AB⃗ làm thế nào?
• Khoảng cách bằng 0 nói gì về hai điểm?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• A=B cho vectơ-không.
• AB=0 khi và chỉ khi A=B.
• Công thức vẫn đúng khi A=B.
• Ngoài phạm vi bài: hệ tọa độ xiên.
• Ngoài phạm vi bài: tọa độ thuần nhất.
• Ngoài phạm vi bài: đổi hệ trục tổng quát.
• Ngoài phạm vi bài: trộn điểm với vectơ.

Phản ví dụ chống học máy móc

• A(1,0,0) và vectơ u⃗=(1,0,0) có cùng bộ ba số nhưng một đối tượng là vị trí, đối tượng kia là độ dời.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Hệ trục tọa độ trong không gian” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Điểm, vectơ và khoảng cách trong Oxyz

Tọa độ B trừ tọa độ A cho AB⃗; độ dài phải giữ đơn vị và không âm.

A(1;−2;3): [1,-2,3]

B(4;0;−1): [4,0,-1]

AB⃗=(3;2;−4)

AB=√29

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho A(1,−2,3), B(4,0,−1). Tính AB⃗.

1. 1 Lấy B trừ A theo từng tọa độ.
2. 2 4−1=3; 0−(−2)=2; −1−3=−4.
3. 3 Ghi theo thứ tự x,y,z.

Đáp án: AB⃗=(3,2,−4).

Tự kiểm: A+AB⃗=(4,0,−1)=B.

Ví dụ 2

Tính khoảng cách giữa A(1,2,0), B(4,6,0).

1. 1 Hiệu tọa độ là (3,4,0).
2. 2 Bình phương và cộng: 9+16.
3. 3 Lấy căn không âm.

Đáp án: AB=5.

Tự kiểm: 3–4–5 và kết quả không âm.

Ví dụ 3

Tìm trung điểm M của A(−1,2,5), B(3,0,1).

1. 1 Lấy trung bình từng cặp tọa độ.
2. 2 x=1, y=1, z=3.
3. 3 Kiểm AM⃗=MB⃗.

Đáp án: M(1,1,3).

Tự kiểm: AM⃗=(2,−1,−2)=MB⃗.

Ví dụ 4

Một hệ trục tính theo mét, điểm P(3,4,12) biểu diễn vị trí so với O. Tính OP và diễn giải.

1. 1 Dùng công thức khoảng cách trong hệ trực chuẩn.
2. 2 OP=√(9+16+144)=√169.
3. 3 Giữ đơn vị mét.

Đáp án: P cách gốc O 13 m.

Tự kiểm: Kết quả không âm và ba tọa độ cùng đơn vị.

Ví dụ 5

Trong hệ Oxyz, điểm A có hình chiếu lên Ox,Oy,Oz lần lượt mang tọa độ 2,−1,4. Viết tọa độ A.

1. 1 Giữ đúng thứ tự ba trục x,y,z.
2. 2 Ghép ba tọa độ đã cho.
3. 3 Phân biệt kí hiệu điểm với vectơ.

Đáp án: A(2,−1,4).

Tự kiểm: Ba thành phần đọc lại đúng theo Ox,Oy,Oz.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Tính AB⃗ bằng A−B.
• Sai lầm cần tránh: Trộn điểm A với vectơ a⃗.
• Sai lầm cần tránh: Bỏ căn hoặc cho khoảng cách âm.
• Sai lầm cần tránh: Dùng các trục khác đơn vị mà không quy đổi.