Toán lớp 12: Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Mục tiêu bài học

• Thực hiện được phép cộng, trừ và nhân vectơ với số theo từng tọa độ.
• Tính được tích vô hướng, độ dài và góc bằng biểu thức tọa độ với điều kiện phù hợp.
• Thiết lập và giải được điều kiện cùng phương, thẳng hàng hoặc đồng phẳng trong trường hợp đơn giản.
• Vận dụng được biểu thức tọa độ để giải quan hệ hình học hoặc tình huống không gian thực tiễn.

Kiến thức cần nhớ

• Các phép cộng, trừ, nhân số và tích vô hướng thực hiện theo từng thành phần.
• Cùng phương cần tồn tại một hệ số tỉ lệ và phải xử lý vectơ-không theo đúng phát biểu.
• Thẳng hàng dùng hai vectơ chung điểm khác 0; đồng phẳng dùng biểu diễn tổ hợp tuyến tính phù hợp.
• Mỗi phương trình tọa độ phải được dịch lại thành quan hệ hình học cần kết luận.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Cho u⃗=(1,−2,3), v⃗=(2,1,0). Tính 2u⃗−v⃗. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

u_i: thành phần thứ i k: một hệ số chung θ: góc trong [0,π]

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
u⃗·v⃗=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃	u⃗,v⃗ trong hệ Oxyz trực chuẩn — ℝ³ — Nếu dùng để tính góc phải kiểm hai vectơ khác 0.	Tính tích vô hướng theo tọa độ.
u⃗ cùng phương v⃗ ⇔ u⃗=kv⃗	phát biểu hướng thường yêu cầu ít nhất vectơ chuẩn v⃗ khác 0 — k∈ℝ — Không chia từng tọa độ khi có thành phần bằng 0; giải hệ u_i=kv_i.	Kiểm quan hệ cùng phương bằng một hệ số chung.
A,B,C thẳng hàng ⇔ AB⃗=kAC⃗	A khác C; dùng hai vectơ có chung điểm đầu — k∈ℝ — Nếu các điểm trùng nhau phải diễn giải riêng.	Chuyển thẳng hàng thành cùng phương.
u⃗,v⃗,w⃗ đồng phẳng ⇔ w⃗=au⃗+bv⃗	u⃗,v⃗ không cùng phương; ba vectơ đặt chung gốc hoặc đang xét quan hệ phương — a,b∈ℝ — Nếu u⃗,v⃗ cùng phương, biểu diễn này không còn là bằng chứng cho một mặt phẳng xác định duy nhất.	Kiểm w⃗ thuộc mặt phẳng phương sinh bởi u⃗,v⃗.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Vì sao nên giải u_i=kv_i thay vì chia tọa độ?
• Điều kiện thẳng hàng cần dùng những vectơ nào?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu dùng để tính góc phải kiểm hai vectơ khác 0.
• Không chia từng tọa độ khi có thành phần bằng 0; giải hệ u_i=kv_i.
• Nếu các điểm trùng nhau phải diễn giải riêng.
• Nếu u⃗,v⃗ cùng phương, biểu diễn này không còn là bằng chứng cho một mặt phẳng xác định duy nhất.
• Ngoài phạm vi bài: định thức/tích hỗn tạp như công cụ bắt buộc.
• Ngoài phạm vi bài: ma trận biến đổi tổng quát.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ điều kiện vectơ khác 0.
• Ngoài phạm vi bài: suy quan hệ chỉ từ ảnh.

Phản ví dụ chống học máy móc

• u⃗=(0,1,0), v⃗=(0,2,1) không cùng phương dù tỉ số hai thành phần đầu nhìn có vẻ phù hợp; thành phần z phá quan hệ một hệ số chung.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Tổ hợp tuyến tính ba vectơ

Ba mũi tên cùng gốc; quan hệ w⃗=2u⃗+3v⃗ phải đúng theo từng tọa độ.

O: [0,0,0]

u⃗=(1;0;1): [1,0,1]

v⃗=(0;1;1): [0,1,1]

w⃗=(2;3;5): [2,3,5]

w⃗=2u⃗+3v⃗

u⃗,v⃗,w⃗ đồng phẳng

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho u⃗=(1,−2,3), v⃗=(2,1,0). Tính 2u⃗−v⃗.

1. 1 2u⃗=(2,−4,6).
2. 2 Trừ theo thành phần.
3. 3 Nhận (0,−5,6).

Đáp án: 2u⃗−v⃗=(0,−5,6).

Tự kiểm: Cộng lại v⃗ được 2u⃗.

Ví dụ 2

Cho u⃗=(1,2,2), v⃗=(2,0,1). Tính cos góc giữa chúng.

1. 1 u⃗·v⃗=4.
2. 2 |u⃗|=3, |v⃗|=√5.
3. 3 Chia cho tích độ dài.

Đáp án: cosθ=4/(3√5).

Tự kiểm: Giá trị nằm trong [−1,1] và hai vectơ khác 0.

Ví dụ 3

Kiểm tra A(0,0,0), B(1,2,3), C(2,4,6) có thẳng hàng không.

1. 1 AB⃗=(1,2,3).
2. 2 AC⃗=(2,4,6)=2AB⃗.
3. 3 Suy hai vectơ chung gốc cùng phương.

Đáp án: A,B,C thẳng hàng.

Tự kiểm: B là trung điểm AC.

Ví dụ 4

Cho u⃗=(1,0,1), v⃗=(0,1,1). Biểu diễn w⃗=(2,3,5) theo u⃗,v⃗.

1. 1 Đặt w⃗=au⃗+bv⃗.
2. 2 Từ hai tọa độ đầu suy a=2,b=3.
3. 3 Tọa độ thứ ba a+b=5 khớp.

Đáp án: w⃗=2u⃗+3v⃗.

Tự kiểm: Cộng (2,0,2)+(0,3,3)=(2,3,5).

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Chia tỉ số tọa độ khi mẫu bằng 0.
• Sai lầm cần tránh: Bỏ trường hợp vectơ-không.
• Sai lầm cần tránh: Dùng tích hỗn tạp như công cụ bắt buộc.
• Sai lầm cần tránh: Có hệ số khác nhau cho từng thành phần nhưng vẫn kết luận cùng phương.