Toán lớp 12: Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Mục tiêu bài học

• Đọc được lớp ghép nhóm, tần số, cỡ mẫu và quy ước đầu mút cần cho tính độ phân tán.
• Tính được khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm theo đúng dữ kiện/quy ước được cung cấp.
• Xác định được các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mẫu ghép nhóm theo phương pháp đã học.
• Giải thích và so sánh được mức phân tán bằng khoảng biến thiên/IQR, nêu đúng giới hạn của kết luận.

Kiến thức cần nhớ

• Bảng ghép nhóm phải ghi các lớp, tần số, cỡ mẫu và quy ước đầu mút.
• Khoảng biến thiên ghép nhóm là ước lượng từ đầu mút ngoài của lớp đầu/cuối theo quy ước đã công bố.
• Tứ phân vị ghép nhóm được nội suy trong lớp chứa vị trí; không coi kết quả là tứ phân vị chính xác của dữ liệu gốc.
• So sánh độ phân tán chỉ có ý nghĩa khi cùng đại lượng, đơn vị và quy ước.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Các lớp quan sát là [10,20), [20,30), [30,40). Tính khoảng biến thiên ghép nhóm. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

L: cận dưới lớp chứa tứ phân vị F: tần số tích lũy trước lớp f: tần số lớp h: độ rộng lớp

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
R=u_m−l_1	các lớp liên tiếp; l_1 là cận dưới lớp đầu, u_m là cận trên lớp cuối — bảng ghép nhóm đã xác định — Lớp biên mở/vô hạn cần dữ kiện khác; không áp máy móc.	Ước lượng khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm.
Q_k=L+[kn/4−F]/f ·h, k=1,2,3	dùng quy ước nội suy KNTT; lớp chứa vị trí có tần số f>0 — vị trí kn/4 nằm trong lớp đang xét — Nếu vị trí đúng ranh lớp, giữ một quy ước nhất quán và nêu rõ.	Ước lượng tứ phân vị Q_k.
IQR=Q₃−Q₁	Q₁,Q₃ tính cùng quy ước và đơn vị — Q₁≤Q₃ — IQR phải không âm; kết quả âm báo lỗi thứ tự hoặc quy ước.	Đo độ rộng 50% dữ liệu giữa.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Sau khi nội suy Q₁, cần kiểm nó nằm ở đâu?
• Khi nào không nên áp R=u_m−l_1?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Lớp biên mở/vô hạn cần dữ kiện khác; không áp máy móc.
• Nếu vị trí đúng ranh lớp, giữ một quy ước nhất quán và nêu rõ.
• IQR phải không âm; kết quả âm báo lỗi thứ tự hoặc quy ước.
• Ngoài phạm vi bài: coi dữ liệu ghép nhóm là dữ liệu gốc chính xác.
• Ngoài phạm vi bài: trộn quy ước nội suy.
• Ngoài phạm vi bài: suy nhân quả từ độ phân tán.
• Ngoài phạm vi bài: kiểm định giả thuyết.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hai bảng có cùng IQR không buộc có cùng phân bố; IQR chỉ tóm tắt nửa dữ liệu ở giữa.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Tần số mẫu ghép nhóm

Các lớp dùng cùng quy ước [a;b); tứ phân vị được nội suy trong lớp chứa.

[0;5)

3

[5;10)

7

[10;15)

9

[15;20)

5

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Các lớp quan sát là [10,20), [20,30), [30,40). Tính khoảng biến thiên ghép nhóm.

1. 1 Đầu mút ngoài là 10 và 40.
2. 2 Lấy 40−10.
3. 3 Ghi đây là đại lượng từ bảng ghép nhóm.

Đáp án: R=30 đơn vị.

Tự kiểm: R không âm và có cùng đơn vị với dữ liệu.

Ví dụ 2

Bảng có n=40; lớp chứa Q₁ là [5,10), tần số lớp 8, tần số tích lũy trước lớp 6. Tính Q₁.

1. 1 Vị trí n/4=10.
2. 2 L=5, F=6, f=8, h=5.
3. 3 Q₁=5+(10−6)/8·5.

Đáp án: Q₁=7,5.

Tự kiểm: 7,5 thuộc lớp [5,10).

Ví dụ 3

Hai mẫu cùng đơn vị có IQR lần lượt 4,2 và 6,1. Mẫu nào phân tán hơn ở 50% giữa?

1. 1 Xác nhận cùng đơn vị và quy ước.
2. 2 So 4,2 với 6,1.
3. 3 Diễn giải chỉ cho 50% giữa.

Đáp án: Mẫu thứ hai phân tán hơn theo IQR.

Tự kiểm: 6,1>4,2; không suy thêm về nguyên nhân hay toàn bộ phân bố.

Ví dụ 4

Bảng các lớp [0,5),[5,10),[10,15) có tần số 3,7,5. Nêu cỡ mẫu và lớp đông nhất.

1. 1 Cộng tần số 3+7+5.
2. 2 So các tần số.
3. 3 Giữ quy ước đầu mút đã ghi.

Đáp án: Cỡ mẫu n=15; lớp [5,10) có tần số lớn nhất 7.

Tự kiểm: Tổng tần số dương và không coi 10 thuộc đồng thời hai lớp.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Coi đầu mút lớp là giá trị nhỏ nhất/lớn nhất thật.
• Sai lầm cần tránh: Trộn hai quy ước tứ phân vị.
• Sai lầm cần tránh: Bỏ tần số tích lũy trước lớp.
• Sai lầm cần tránh: Suy nhân quả từ IQR.