Toán lớp 12: Bài 17: Phương trình mặt cầu

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được phương trình mặt cầu và điều kiện bán kính dương trong dạng chuẩn/tương đương đơn giản.
• Xác định được tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu sau khi biến đổi đúng.
• Thiết lập được phương trình mặt cầu từ tâm–bán kính hoặc tâm–một điểm thuộc mặt cầu.
• Vận dụng được mô hình mặt cầu và khoảng cách Oxyz vào tình huống thực tiễn như vùng phủ/GPS với đơn vị rõ.

Kiến thức cần nhớ

• Mặt cầu tâm I bán kính R gồm các điểm cách I đúng R; mặt cầu thực không suy biến cần R>0.
• Dạng khai triển được đưa về tổng bình phương để đọc tâm và kiểm bình phương bán kính.
• Điểm trong/trên/ngoài cầu được phân loại bằng so sánh IM với R.
• Khi dùng bảng hoặc hình minh họa, phải đọc đúng dữ kiện tâm, bán kính và tọa độ; không suy từ hình phối cảnh.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Đọc tâm, bán kính của (x−1)²+(y+2)²+z²=9. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

I: tâm R: bán kính dương (S): mặt cầu thực không suy biến

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R²	I(a,b,c), R>0 — x,y,z∈ℝ — R=0 chỉ là một điểm; R²<0 không cho mặt cầu thực.	Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R.
x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0	sau hoàn thành bình phương có R²=a²+b²+c²−d>0 — ℝ³ — Nếu biểu thức dưới căn không dương, không gọi là mặt cầu thực không suy biến.	Tâm I(a,b,c), bán kính √(a²+b²+c²−d).
M thuộc (S) ⇔ IM=R	R>0 và I là tâm đã xác định — M∈ℝ³ — IM<R là trong; IM>R là ngoài, không phải thuộc.	Kiểm điểm thuộc mặt cầu.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• R²=0 biểu diễn đối tượng gì?
• Muốn kiểm M thuộc cầu cần so đại lượng nào?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• R=0 chỉ là một điểm; R²<0 không cho mặt cầu thực.
• Nếu biểu thức dưới căn không dương, không gọi là mặt cầu thực không suy biến.
• IM<R là trong; IM>R là ngoài, không phải thuộc.
• Ngoài phạm vi bài: mặt phẳng tiếp xúc như mục tiêu bắt buộc.
• Ngoài phạm vi bài: giao tuyến mặt cầu–mặt phẳng tổng quát.
• Ngoài phạm vi bài: bán kính không dương.
• Ngoài phạm vi bài: đọc tâm và bán kính từ dạng khai triển mà không hoàn thành bình phương.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Phương trình x²+y²+z²+1=0 không biểu diễn mặt cầu thực vì R²=−1.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Phương trình mặt cầu” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Mặt cầu tâm I bán kính 3

Elip là hình chiếu minh họa mặt cầu; vị trí của điểm phải kiểm bằng tọa độ và điều kiện IM=R.

I(1;−2;3): [1,-2,3]

M(4;−2;3): [4,-2,3]

IM=3

(S):(x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=9

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Đọc tâm, bán kính của (x−1)²+(y+2)²+z²=9.

1. 1 So với dạng chuẩn.
2. 2 Tâm là (1,−2,0).
3. 3 R=√9 lấy căn dương.

Đáp án: I(1,−2,0), R=3.

Tự kiểm: Thế điểm (4,−2,0) cho vế trái 9.

Ví dụ 2

Đưa x²+y²+z²−2x+4y−6z+5=0 về dạng chuẩn.

1. 1 Hoàn thành bình phương từng biến.
2. 2 (x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=9.
3. 3 Đọc tâm và bán kính.

Đáp án: I(1,−2,3), R=3.

Tự kiểm: Khai triển lại cho hằng 1+4+9−9=5.

Ví dụ 3

Lập mặt cầu tâm O đi qua A(1,2,2).

1. 1 R=OA=√(1+4+4)=3.
2. 2 Tâm O(0,0,0).
3. 3 Dùng dạng chuẩn.

Đáp án: x²+y²+z²=9.

Tự kiểm: Thay A được 9.

Ví dụ 4

Vùng phủ mô hình là mặt cầu tâm I(1,2,0), bán kính 5 km. Điểm M(4,6,0) nằm ở đâu so với biên?

1. 1 IM=√(3²+4²)=5.
2. 2 So IM với R=5.
3. 3 Khoảng cách bằng bán kính.

Đáp án: M nằm trên biên mặt cầu vùng phủ.

Tự kiểm: Đơn vị tọa độ và bán kính đều là km.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Lấy bán kính âm.
• Sai lầm cần tránh: Không kiểm R²>0.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm điểm trong với điểm thuộc.
• Sai lầm cần tránh: Đưa bài toán giao mặt cầu–mặt phẳng hoặc giao hai mặt cầu ngoài phạm vi bài.