Toán lớp 12: Bài 18: Xác suất có điều kiện

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được xác suất có điều kiện và xác định đúng biến cố điều kiện có xác suất dương.
• Giải thích được ý nghĩa của P(A|B) trong tình huống quen thuộc, không đảo A và B.
• Tính được xác suất có điều kiện từ giao/điều kiện, bảng 2×2 hoặc sơ đồ cây đơn giản.
• Vận dụng được hệ thức nhân liên quan xác suất có điều kiện để giải bài toán hai giai đoạn phù hợp.

Kiến thức cần nhớ

• P(A|B) là xác suất của A khi biết B đã xảy ra; hướng điều kiện không được đảo.
• Mẫu P(B) phải dương.
• Bảng 2×2 và cây phải giữ cùng không gian mẫu sau khi điều kiện hóa.
• Hệ thức nhân theo đúng thứ tự nhánh và dùng được để tính giao.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Trong 100 học sinh có 40 bạn học CLB, 18 bạn vừa học CLB vừa đạt giải. Tính xác suất đạt giải khi biết học CLB. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

A∩B: giao hai biến cố Aᶜ: biến cố đối P(A|B): A khi biết B

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)	P(B)>0 — A,B trong cùng không gian xác suất — P(B)=0 thì biểu thức không xác định trong phạm vi này.	Tính xác suất A dưới điều kiện B.
P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)	các mẫu điều kiện tương ứng dương — A,B cùng không gian — Không thay P(A|B) bằng P(B|A).	Hệ thức nhân hai biến cố.
P(A|B)+P(Aᶜ|B)=1	P(B)>0 — A và Aᶜ trong không gian đã điều kiện B — Hai điều kiện khác nhau không tạo cặp bù cộng 1.	Kiểm cặp biến cố bù dưới cùng điều kiện.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Mẫu của P(A|B) là xác suất nào?
• Trên cây, xác suất một đường đi được tính bằng phép gì?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• P(B)=0 thì biểu thức không xác định trong phạm vi này.
• Không thay P(A|B) bằng P(B|A).
• Hai điều kiện khác nhau không tạo cặp bù cộng 1.
• Ngoài phạm vi bài: điều kiện có xác suất bằng 0.
• Ngoài phạm vi bài: đảo P(A|B) với P(B|A).
• Ngoài phạm vi bài: coi độc lập là xung khắc.
• Ngoài phạm vi bài: mô hình liên tục nâng cao.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Nếu trong 100 người có 10 người bệnh và 8 người bệnh có kết quả xét nghiệm dương tính, P(+|bệnh)=0,8; điều này không nói P(bệnh|+)=0,8.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Xác suất có điều kiện” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Cây xác suất có điều kiện

Xác suất con là xác suất có điều kiện theo nhánh cha; nhân dọc nhánh, không đảo hướng điều kiện.

Bắt đầu

1. B 0,4
   1. A
      P(A|B)=0,5
      P(A∩B)=0,2
   2. Ā
      0,5
      P(Ā∩B)=0,2
2. B̄ 0,6
   1. A
      P(A|B̄)=0,25
      0,15
   2. Ā
      0,75
      0,45

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Trong 100 học sinh có 40 bạn học CLB, 18 bạn vừa học CLB vừa đạt giải. Tính xác suất đạt giải khi biết học CLB.

1. 1 Điều kiện thu hẹp mẫu còn 40 bạn.
2. 2 Giao có 18 bạn.
3. 3 Chia 18/40.

Đáp án: P(G|C)=0,45.

Tự kiểm: Giá trị trong [0,1] và mẫu điều kiện dương.

Ví dụ 2

Biết P(B)=0,5 và P(A∩B)=0,2. Tính P(A|B).

1. 1 Kiểm P(B)>0.
2. 2 Dùng tỉ số 0,2/0,5.
3. 3 Tính 0,4.

Đáp án: P(A|B)=0,4.

Tự kiểm: P(A∩B)=0,5·0,4=0,2.

Ví dụ 3

Một quy trình qua bước 1 với xác suất 0,8; nếu qua bước 1 thì qua bước 2 với xác suất 0,75. Tính xác suất qua cả hai.

1. 1 Gọi A qua bước 1, B qua bước 2.
2. 2 P(A∩B)=P(A)P(B|A).
3. 3 Nhân 0,8·0,75.

Đáp án: 0,60.

Tự kiểm: Kết quả không vượt từng xác suất nhánh.

Ví dụ 4

Biết P(A)=0,2, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,1. So P(A|B) và P(B|A).

1. 1 P(A|B)=0,1/0,5=0,2.
2. 2 P(B|A)=0,1/0,2=0,5.
3. 3 Ghi rõ hướng mỗi điều kiện.

Đáp án: P(A|B)=0,2 còn P(B|A)=0,5.

Tự kiểm: Hai tích P(B)P(A|B) và P(A)P(B|A) đều bằng 0,1.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Đảo P(A|B) và P(B|A).
• Sai lầm cần tránh: Điều kiện hóa trên biến cố xác suất 0.
• Sai lầm cần tránh: Coi độc lập là xung khắc.
• Sai lầm cần tránh: Cộng xác suất dọc một nhánh cây.