Toán lớp 12: Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Mục tiêu bài học

• Mô tả được phân hoạch và công thức xác suất toàn phần bằng bảng 2×2 hoặc sơ đồ cây.
• Tính được xác suất của biến cố bằng cách cộng các nhánh rời nhau, đầy đủ trong sơ đồ cây.
• Thiết lập và sử dụng được công thức Bayes với mẫu số dương và đúng hướng điều kiện.
• Vận dụng được công thức xác suất toàn phần và Bayes vào bài toán thực tiễn, kiểm tra tỉ lệ nền và diễn giải kết quả.

Kiến thức cần nhớ

• Một phân hoạch gồm các nhánh đôi một xung khắc và phủ hết không gian đang xét.
• Xác suất toàn phần cộng các tích dọc nhánh dẫn tới biến cố quan sát.
• Công thức Bayes đảo hướng điều kiện bằng cách chia cho xác suất của biến cố quan sát.
• Bài chẩn đoán phải giữ tỉ lệ nền, không chỉ độ nhạy của tín hiệu.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Máy M1 làm 60% sản phẩm, lỗi 2%; M2 làm 40%, lỗi 5%. Tính xác suất chọn trúng sản phẩm lỗi. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

{A_i}: phân hoạch B: biến cố quan sát P(A_i): xác suất tiên nghiệm của nhánh A_i

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
P(B)=Σ_i P(A_i)P(B|A_i)	{A_i} là phân hoạch hữu hạn; P(A_i)>0 khi dùng điều kiện — B trong hợp các nhánh — Thiếu nhánh hoặc nhánh chồng lấn làm tổng sai.	Công thức xác suất toàn phần.
P(A_j|B)=P(A_j)P(B|A_j)/P(B)	P(B)>0; {A_i} là phân hoạch — A_j là một nhánh — Mẫu phải là toàn bộ xác suất của biến cố quan sát, không chỉ một nhánh.	Công thức Bayes đúng hướng.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Hai điều kiện nào làm một họ biến cố thành phân hoạch?
• Mẫu số của Bayes được tính bằng công thức nào?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Thiếu nhánh hoặc nhánh chồng lấn làm tổng sai.
• Mẫu phải là toàn bộ xác suất của biến cố quan sát, không chỉ một nhánh.
• Ngoài phạm vi bài: các nhánh không tạo phân hoạch.
• Ngoài phạm vi bài: cộng nhánh chồng lấn.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ tỉ lệ nền.
• Ngoài phạm vi bài: mạng Bayes tổng quát.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Phép kiểm tra có độ nhạy 90% không kéo theo người nhận kết quả dương tính có xác suất bệnh 90%; phản ví dụ về tỉ lệ nền trong ví dụ thứ ba cho khoảng 15,38%.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Cây xác suất toàn phần và Bayes

Hai nguồn tạo phân hoạch; cộng các nhánh lỗi rồi dùng toàn bộ xác suất của biến cố quan sát làm mẫu Bayes.

Sản phẩm

1. M1 0,6
   1. Lỗi
      0,02
      0,012
   2. Tốt
      0,98
      0,588
2. M2 0,4
   1. Lỗi
      0,05
      0,020
   2. Tốt
      0,95
      0,380

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Máy M1 làm 60% sản phẩm, lỗi 2%; M2 làm 40%, lỗi 5%. Tính xác suất chọn trúng sản phẩm lỗi.

1. 1 Hai nguồn tạo phân hoạch.
2. 2 P(L)=0,6·0,02+0,4·0,05.
3. 3 Cộng hai nhánh rời nhau.

Đáp án: P(L)=0,032.

Tự kiểm: Các trọng số nguồn cộng 1; kết quả nằm giữa 0,02 và 0,05.

Ví dụ 2

Với dữ liệu trên, biết sản phẩm lỗi, tính xác suất do M2 làm.

1. 1 Tử P(M2∩L)=0,4·0,05=0,02.
2. 2 Mẫu P(L)=0,032.
3. 3 Chia 0,02/0,032.

Đáp án: P(M2|L)=0,625.

Tự kiểm: P(M1|L)=0,375 và hai xác suất cộng 1.

Ví dụ 3

Một tình trạng có tỉ lệ nền 1%; phép kiểm tra cho kết quả dương tính khi có tình trạng với xác suất 90%, và dương tính giả 5%. Tính P(tình trạng|dương tính).

1. 1 P(+)=0,01·0,90+0,99·0,05=0,0585.
2. 2 Tử đồng thời là 0,009.
3. 3 Chia theo Bayes.

Đáp án: P(T|+)≈0,1538.

Tự kiểm: Kết quả thấp hơn 0,90 vì tỉ lệ nền chỉ 1%; xác suất hậu nghiệm trong [0,1].

Ví dụ 4

Một bảng chia nguồn A₁,A₂ với xác suất 0,7;0,3. Kiểm đây có thể là phân hoạch hai nhánh không.

1. 1 Hai xác suất không âm.
2. 2 Tổng 0,7+0,3=1.
3. 3 Cần thêm giả thiết hai nhánh xung khắc và phủ hết.

Đáp án: Các số xác suất phù hợp; chỉ kết luận phân hoạch khi A₁,A₂ còn được xác nhận xung khắc và hợp thành toàn bộ không gian.

Tự kiểm: Không dùng riêng tổng bằng 1 để che thiếu quan hệ biến cố.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Các nhánh không phủ hết.
• Sai lầm cần tránh: Cộng nhánh chồng lấn.
• Sai lầm cần tránh: Dùng độ nhạy làm hậu nghiệm.
• Sai lầm cần tránh: Quên tỉ lệ nền hoặc xác suất của biến cố quan sát ở mẫu.