Toán lớp 12: Chuyên đề — Bài 6: Tín dụng và vay nợ

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được các thành phần cơ bản của tín dụng/vay nợ và dòng tiền theo kỳ trong mô hình đã cho.
• Tính được lãi, phí thẻ hoặc nghĩa vụ thanh toán khi quy tắc và kỳ tính được nêu minh bạch.
• Tính và theo dõi được dư nợ/khoản trả theo mô hình đơn giản bằng tỷ số, phần trăm, lũy thừa hoặc lôgarit phù hợp.
• Giải thích được hệ quả toán học của trả đúng/chậm hạn trong kịch bản giáo dục, không biến thành tư vấn tín dụng cá nhân.

Kiến thức cần nhớ

• Dòng tiền được ghi theo thời điểm, dấu và kỳ lãi; mọi phí dùng trong bài phải minh thị.
• Khoản trả làm giảm dư nợ theo đúng thứ tự đã nêu trong kịch bản.
• So sánh phương án chỉ trên cùng số tiền vay, thời hạn, giả định và các khoản phí đã cho.
• Không suy điều khoản pháp lý, chấm điểm tín dụng hay tư vấn vay thật.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Dư nợ đầu kỳ 20 triệu, lãi 1%/kỳ, trả cuối kỳ 5 triệu. Tính dư nợ sau kỳ. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

B_k: dư nợ đầu kỳ k r: lãi suất mỗi kỳ R_k: khoản trả cuối kỳ theo thỏa thuận trong đề

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
B_{k+1}=B_k(1+r)−R_k	r là lãi mỗi kỳ; R_k trả cuối kỳ; không có phí/dòng tiền khác nếu chưa nêu — B_k≥0 theo kịch bản — Trả đầu kỳ hoặc có phí cần công thức thời điểm khác.	Cập nhật dư nợ sau lãi và khoản trả.
tổng chi phí mô hình = Σ khoản trả + phí minh thị − số tiền nhận	cùng tiền tệ và các thời điểm đã được quy đổi thống nhất — kịch bản hữu hạn — Không tự thêm phí/lãi ẩn hoặc kết luận pháp lý.	So chi phí theo dữ kiện đề.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Trong công thức truy hồi trên, R_k diễn ra lúc nào?
• Một so sánh khoản vay an toàn cần khóa những giả định gì?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Trả đầu kỳ hoặc có phí cần công thức thời điểm khác.
• Không tự thêm phí/lãi ẩn hoặc kết luận pháp lý.
• Ngoài phạm vi bài: tư vấn vay.
• Ngoài phạm vi bài: chấm điểm tín dụng thật.
• Ngoài phạm vi bài: phí/lãi ẩn.
• Ngoài phạm vi bài: ngoại suy điều khoản pháp lý.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Cùng r và R nhưng trả đầu kỳ khác trả cuối kỳ; thứ tự dòng tiền làm dư nợ khác, nên không được bỏ mốc thời gian.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Dùng mô hình của bài để phân tích một phương án thực tế; phải công khai giả định, đơn vị, giới hạn và rủi ro.

Minh họa trực quan

Dòng tiền và dư nợ theo kỳ

Lãi được tính trước khoản trả cuối kỳ đúng theo công thức truy hồi; không thêm phí ẩn.

Kỳ	Dư đầu kỳ	Lãi 2%	Trả cuối kỳ	Dư cuối kỳ
1	10	0.2	3	7.2
2	7.2	0.144	3	4.344

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Dư nợ đầu kỳ 20 triệu, lãi 1%/kỳ, trả cuối kỳ 5 triệu. Tính dư nợ sau kỳ.

1. 1 Lãi làm số dư thành 20·1,01=20,2.
2. 2 Trừ khoản trả 5.
3. 3 Giữ đơn vị triệu đồng.

Đáp án: 15,2 triệu đồng.

Tự kiểm: 15,2=20+0,2−5.

Ví dụ 2

B₀=10, r=0,02, trả cuối mỗi kỳ R=3. Tính B₂.

1. 1 B₁=10·1,02−3=7,2.
2. 2 B₂=7,2·1,02−3=4,344.
3. 3 Giữ cùng kỳ.

Đáp án: B₂=4,344 đơn vị tiền.

Tự kiểm: Lặp đúng cùng công thức truy hồi hai lần.

Ví dụ 3

Hai kịch bản cùng khoản vay/thời hạn: A tổng trả và phí minh thị 12,4; B là 12,1. So theo chỉ tiêu này.

1. 1 Xác nhận cùng tiền tệ/thời hạn.
2. 2 So tổng chi phí minh thị.
3. 3 Nêu giới hạn chỉ tiêu.

Đáp án: Trong kịch bản đã cho, B thấp hơn 0,3 theo tổng trả và phí minh thị; đây không phải tư vấn vay.

Tự kiểm: Không thêm điều khoản chưa nêu và không ngoại suy.

Ví dụ 4

Khoản 12 được trả đều 4 kỳ, bỏ qua lãi/phí theo giả định bài. Tính mỗi khoản trả.

1. 1 Tổng 12 chia đều 4 kỳ.
2. 2 R=12/4.
3. 3 Giữ cùng đơn vị tiền mỗi kỳ.

Đáp án: Mỗi kỳ trả 3 đơn vị tiền.

Tự kiểm: Bốn khoản 3 có tổng 12; giả thiết đã nói rõ bỏ qua lãi/phí.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Trừ khoản trả trước khi tính lãi dù giả thiết nói trả cuối kỳ.
• Sai lầm cần tránh: Trộn kỳ.
• Sai lầm cần tránh: Tự thêm/bỏ phí.
• Sai lầm cần tránh: Tư vấn vay hoặc suy pháp lý.